Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 134

Упражнение 1312 к § 134

§ 134. Свойства гомотетии · тема: Гомотетия

Задача 1

Условие (кратко)

Окружность радиуса r с центром C, точка O ≠ C. Постройте окружность, в которую она переходит при гомотетии с центром O и k = −1.

Решение

Проведите прямую $$CO$$ и на продолжении луча $$OC$$ за точку $$O$$ отложите $$OC_1 = OC$$ .
Проведите окружность с центром $$C_1$$ и радиусом $$r$$ .

По свойству 3 окружность переходит в окружность с центром в образе $$C_1$$ точки $$C$$ и радиусом $$|k| r = r$$ . Гомотетия с $$k = -1$$ — центральная симметрия относительно $$O$$ , так что получилась окружность, симметричная данной относительно $$O$$ .

Ответ

Окружность радиуса r с центром C₁, симметричным C относительно O

Почему так

Окружность переходит в окружность с центром в образе центра и радиусом |k|r.

Подробнее — в теме «Гомотетия».

Задача 2

Условие (кратко)

Та же окружность (центр C, радиус r). Постройте её образ при гомотетии с центром O и k = 1,5.

Решение

На луче $$OC$$ отложите $OC_1 = 1{,}5 \cdot OC$ : постройте середину $$M$$ отрезка $$OC$$ и отложите за точкой $$C$$ отрезок $$CC_1 = OM$$ .
Радиус образа $$1{,}5r$$ : отложите на любой прямой радиус $$r$$ и ещё его половину.
Проведите окружность с центром $$C_1$$ радиуса $$1{,}5r$$ .

По свойству 3 это и есть образ данной окружности.

Ответ

Окружность с центром C₁ на луче OC, OC₁ = 1,5·OC, радиус 1,5r

Почему так

При гомотетии центр окружности переходит в центр образа, радиус умножается на |k|.

Подробнее — в теме «Гомотетия».

Задача 3

Условие (кратко)

Та же окружность (центр C, радиус r). Постройте её образ при гомотетии с центром O и k = 3.

Решение

На луче $$OC$$ отложите $OC_1 = 3 \cdot OC$ .
Проведите окружность с центром $$C_1$$ и радиусом $$3r$$ .

По свойству 3 гомотетии это образ данной окружности.

Ответ

Окружность с центром C₁ на луче OC, OC₁ = 3·OC, радиус 3r

Почему так

Окружность переходит в окружность с центром в образе центра и радиусом |k|r.

Подробнее — в теме «Гомотетия».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Похожие задачи для тренировки