Рис. 401, а: △ABC на клетках, основание AC = 6 клеток, высота 3; O внутри под B примерно на половине высоты. Постройте образ △ABC при гомотетии с центром O и k = 3.
Решение
Для каждой вершины проведите луч из \(O\) и отложите на нём расстояние, втрое большее: \(OA_1 = 3OA\), \(OB_1 = 3OB\), \(OC_1 = 3OC\). По клеткам это просто: если от \(O\) до \(A\) надо пройти 3 клетки влево и 1,5 вниз, то до \(A_1\) — 9 клеток влево и 4,5 вниз.
Соедините \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\).
Относительно \(O\) получаем: \(A(-3; -1{,}5) \to A_1(-9; -4{,}5)\), \(B(0; 1{,}5) \to B_1(0; 4{,}5)\), \(C(3; -1{,}5) \to C_1(9; -4{,}5)\) (в клетках). Треугольник \(A_1B_1C_1\) подобен \(ABC\) с коэффициентом 3: основание 18 клеток, высота 9, стороны параллельны сторонам \(ABC\), точка \(O\) внутри него на том же «месте».
Ответ
△A₁B₁C₁ с основанием 18 клеток и высотой 9 клеток, стороны параллельны сторонам △ABC, O внутри
Почему так
Образ многоугольника — многоугольник с вершинами в образах вершин; при k > 0 точки уходят по лучам от центра.
Рис. 401, б: △XYZ, относительно Z точка X на 4 клетки левее и 2 ниже, Y — на 1 левее и 5 ниже. Постройте образ △XYZ при гомотетии с центром Z и k = 1/2.
Решение
Центр \(Z\) — вершина треугольника, он остаётся на месте: \(Z_1 = Z\).
При \(k = \dfrac{1}{2}\) образ точки \(X\) — середина отрезка \(ZX\): \(X_1\) на 2 клетки левее и на 1 ниже \(Z\).
Образ \(Y\) — середина \(ZY\): \(Y_1\) на 0,5 клетки левее и на 2,5 ниже \(Z\).
Соедините \(Z\), \(X_1\), \(Y_1\).
Получился треугольник \(ZX_1Y_1\) — вдвое меньший, \(X_1Y_1\) — средняя линия треугольника \(XYZ\), параллельная \(XY\).
Ответ
△ZX₁Y₁, где X₁ и Y₁ — середины ZX и ZY; X₁Y₁ — средняя линия △XYZ
Почему так
Гомотетия с k = 1/2 и центром в вершине переводит соседние вершины в середины сторон.
Рис. 401, в: △PQR, относительно P точка Q на 1 клетку правее и 3 ниже, R — на 6 правее и 3 ниже. Постройте образ △PQR при гомотетии с центром P и k = −2.
Решение
Центр \(P\) остаётся на месте.
Образ \(Q\): на продолжении луча \(PQ\) за точку \(P\) отложите \(PQ_1 = 2PQ\) — точка \(Q_1\) на 2 клетки левее и на 6 выше \(P\).
Образ \(R\): на продолжении луча \(PR\) за точку \(P\) отложите \(PR_1 = 2PR\) — точка \(R_1\) на 12 клеток левее и на 6 выше \(P\).
Соедините \(P\), \(Q_1\), \(R_1\).
Треугольник \(PQ_1R_1\) «перевёрнут» относительно \(PQR\) через точку \(P\), его стороны вдвое длиннее, \(Q_1R_1 \parallel QR\), \(Q_1R_1 = 10\) клеток.
Ответ
△PQ₁R₁ по другую сторону от P, Q₁ и R₁ на продолжениях QP и RP за P, стороны вдвое длиннее, Q₁R₁ = 10 клеток
Почему так
При k < 0 образы точек лежат на продолжениях лучей за центр, расстояния умножаются на |k|.
Рис. 401, г: прямоугольный △LMN, катеты LM = LN = 4 клетки, E — середина стороны LN (в тексте учебника «LM»). Постройте образ △LMN при гомотетии с центром E и k = −1/2.
Решение
На рисунке точка \(E\) лежит на стороне \(LN\) посередине (в тексте учебника опечатка «середина отрезка \(LM\)»). Удобно считать клетки от \(E\): \(L\) на 2 левее, \(N\) на 2 правее, \(M\) на 2 левее и 4 выше.
Образ \(L\): на продолжении луча \(EL\) за точку \(E\), \(EL_1 = \dfrac{1}{2}EL\) — точка \(L_1\) на 1 клетку правее \(E\).
Образ \(N\): \(N_1\) на 1 клетку левее \(E\).
Образ \(M\): \(M_1\) на 1 клетку правее и на 2 ниже \(E\).
Соедините \(L_1\), \(M_1\), \(N_1\).
Получился прямоугольный треугольник с прямым углом \(L_1\), катетами по 2 клетки, лежащий под стороной \(LN\) и «перевёрнутый»: стороны параллельны сторонам \(LMN\), вдвое короче.
Ответ
△L₁M₁N₁ под отрезком LN, L₁ и N₁ — середины EN и EL, M₁ на 2 клетки ниже L₁; катеты по 2 клетки
Почему так
При k = −1/2 каждая точка переходит на другую сторону от центра на вдвое меньшее расстояние.
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).