Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 134

Упражнение 1314 к § 134

§ 134. Свойства гомотетии · тема: Гомотетия

Задача 1

Условие (кратко)

Рис. 402, а: трапеция с основаниями 2 и 5 клеток, высотой 2 клетки, точка A внутри у левой боковой стороны. Постройте образ трапеции при гомотетии с центром A и k = 2.

Решение

Считаем клетки от $$A$$ : вершины трапеции $$(-1; -1)$$ , $$(4; -1)$$ , $$(2; 1)$$ , $$(0; 1)$$ .

Каждую вершину переводим лучом из $$A$$ вдвое дальше: $$(-2; -2)$$ , $$(8; -2)$$ , $$(4; 2)$$ , $$(0; 2)$$ .
Соединяем по порядку.

Получилась трапеция с основаниями 4 и 10 клеток и высотой 4 клетки; её стороны параллельны сторонам данной, точка $$A$$ — внутри неё.

Ответ

Трапеция с основаниями 4 и 10 клеток и высотой 4 клетки, стороны параллельны данным, A внутри

Почему так

Многоугольник переходит в многоугольник с вершинами в образах вершин, подобный с коэффициентом |k|.

Подробнее — в теме «Гомотетия».

Задача 2

Условие (кратко)

Рис. 402, б: окружность радиуса 2 клетки, точка A внутри неё на 1 клетку правее и 1 ниже центра. Постройте образ окружности при гомотетии с центром A и k = 2.

Решение

Образ центра $$C$$ : на луче $$AC$$ отложите $$AC_1 = 2AC$$ — точка $$C_1$$ на 2 клетки левее и 2 выше $$A$$ (на 1 клетку левее и выше $$C$$ ).
Радиус образа $2 \cdot 2 = 4$ клетки.
Проведите окружность с центром $$C_1$$ радиусом 4 клетки.

По свойству 3 гомотетии это образ данной окружности; точка $$A$$ осталась внутри.

Ответ

Окружность радиуса 4 клетки с центром C₁, где AC₁ = 2·AC на луче AC

Почему так

Окружность переходит в окружность с центром в образе центра и радиусом |k|r.

Подробнее — в теме «Гомотетия».

Задача 3

Условие (кратко)

Рис. 402, в: «рожица» — восьмиугольник с глазами-точками и дугой-улыбкой, точка A — «нос» внутри. Постройте образ фигуры при гомотетии с центром A и k = 2.

Решение

Считаем клетки от $$A$$ : вершины восьмиугольника $$(-1; 2)$$ , $$(1; 2)$$ , $$(2; 1)$$ , $$(2; 0)$$ , $$(1; -1)$$ , $$(-1; -1)$$ , $$(-2; 0)$$ , $$(-2; 1)$$ , глаза $$(-1; 1)$$ и $$(1; 1)$$ .

Удвойте все координаты: вершины $$(-2; 4)$$ , $$(2; 4)$$ , $$(4; 2)$$ , $$(4; 0)$$ , $$(2; -2)$$ , $$(-2; -2)$$ , $$(-4; 0)$$ , $$(-4; 2)$$ , глаза $$(-2; 2)$$ и $$(2; 2)$$ .
Нос $$A$$ остаётся на месте.
Улыбку постройте по нескольким точкам: каждую точку дуги переведите лучом из $$A$$ вдвое дальше и соедините плавной линией.

Получилась такая же «рожица», вдвое больше, с носом в той же точке $$A$$ .

Ответ

Та же «рожица» вдвое больше, нос A на месте, все отрезки параллельны данным и вдвое длиннее

Почему так

Гомотетия с k = 2 удваивает расстояние каждой точки от центра, сохраняя форму фигуры.

Подробнее — в теме «Гомотетия».

Задача 4

Условие (кратко)

Рис. 402, г: параллелограмм, вершина A слева внизу; относительно A вершины (4; 0), (5; 2), (1; 2) в клетках. Постройте образ при гомотетии с центром A и k = 2.

Решение

Вершина $$A$$ — центр, она остаётся на месте.
Остальные вершины уходят по лучам из $$A$$ вдвое дальше: $$(8; 0)$$ , $$(10; 4)$$ , $$(2; 4)$$ .
Соедините вершины.

Получился параллелограмм со сторонами, вдвое длиннее, и с общим углом при вершине $$A$$ : его стороны, выходящие из $$A$$ , лежат на сторонах данного.

Ответ

Параллелограмм с вершиной A и вершинами (8; 0), (10; 4), (2; 4) от A — вдвое больше данного, с тем же углом при A

Почему так

Прямые, проходящие через центр, переходят в себя, поэтому стороны из вершины A лежат на тех же прямых.

Подробнее — в теме «Гомотетия».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки