Задача 1
Условие (кратко)
Докажите, что при гомотетии угол переходит в равный ему угол.
Решение
Дано: гомотетия с центром \(O\) и коэффициентом \(k\), угол \(\angle BAC\) переходит в фигуру с вершиной \(A_1\) (образ \(A\)). Доказать: образ — угол \(\angle B_1A_1C_1\), равный \(\angle BAC\).
- По определению гомотетии \(\overrightarrow{OA_1} = k\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{OB_1} = k\overrightarrow{OB}\), \(\overrightarrow{OC_1} = k\overrightarrow{OC}\). Вычитая, получаем \(\overrightarrow{A_1B_1} = k\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{A_1C_1} = k\overrightarrow{AC}\).
- Любая точка \(M\) луча \(AB\) задаётся равенством \(\overrightarrow{AM} = t\overrightarrow{AB}\), \(t \ge 0\). Её образ: \(\overrightarrow{A_1M_1} = k\overrightarrow{AM} = t\overrightarrow{A_1B_1}\), то есть \(M_1\) лежит на луче \(A_1B_1\). Значит, луч \(AB\) переходит в луч \(A_1B_1\), луч \(AC\) — в луч \(A_1C_1\), а угол — в угол \(B_1A_1C_1\).
- Если \(k > 0\), векторы \(\overrightarrow{A_1B_1}\) и \(\overrightarrow{AB}\) сонаправлены, как и \(\overrightarrow{A_1C_1}\) и \(\overrightarrow{AC}\): стороны углов соответственно сонаправлены, и углы равны (угол между векторами не меняется при замене их сонаправленными).
- Если \(k < 0\), обе пары векторов противоположно направлены. Угол между векторами \(-\vec{a}\) и \(-\vec{b}\) равен углу между \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) (это центральная симметрия, она сохраняет углы), поэтому углы снова равны.
Итак, \(\angle B_1A_1C_1 = \angle BAC\).
Ответ
Утверждение доказано: стороны угла переходят в лучи, сонаправленные или противоположно направленные исходным, и угол сохраняется
Почему так
Гомотетия умножает все векторы на одно число k, а угол между векторами при этом не меняется.
Подробнее — в теме «Гомотетия».