Задача 1
При гомотетии с k = −3 △ABC переходит в △A₁B₁C₁, а параллелограмм MNPQ — в M₁N₁P₁Q₁. Можно ли утверждать, что △ABC ∼ △A₁B₁C₁ и MNPQ ∼ M₁N₁P₁Q₁? Если да, найдите коэффициент подобия.
Решение
- гомотетия с \(k = -3\)
- \(\triangle ABC \to \triangle A_1B_1C_1\)
- \(MNPQ \to M_1N_1P_1Q_1\)
- подобны ли фигуры и коэффициент подобия
По теореме п. 134 при гомотетии с коэффициентом \(k\) многоугольник переходит в подобный ему многоугольник с коэффициентом \(|k|\). Здесь \(|k| = 3\): каждая сторона образа втрое длиннее соответствующей стороны (\(A_1B_1 = 3AB\), \(M_1N_1 = 3MN\) и т. д.), а углы равны.
Значит, да: \(\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC\) и \(M_1N_1P_1Q_1 \sim MNPQ\) с коэффициентом \(k_1 = 3\) — так указано и в ответах учебника (коэффициент образа относительно исходной фигуры). Если читать запись \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\) буквально по определению п. 135 (коэффициент \(\triangle ABC\) относительно \(\triangle A_1B_1C_1\)), он равен \(\dfrac{1}{3}\).
Ответ
Гомотетия с коэффициентом k переводит многоугольник в подобный с коэффициентом |k|.
Подробнее — в теме «Гомотетия».