Задача 1
Условие (кратко)
Гомотетия задана центром O и парой соответственных точек A и A₁. Для данной точки M постройте соответственную ей точку M₁ (рис. 403, а).
Решение
Случай 1: точка \(M\) не лежит на прямой \(AA_1\).
- Проведите прямую \(OM\) — на ней лежит \(M_1\).
- Проведите прямую \(AM\) и через точку \(A_1\) — прямую, параллельную \(AM\).
- Точка пересечения этой прямой с \(OM\) — искомая точка \(M_1\).
Почему: прямая \(AM\) не проходит через центр, поэтому по свойству 1 переходит в параллельную ей прямую, проходящую через \(A_1\) и \(M_1\).
Случай 2: точка \(M\) лежит на прямой \(AA_1\).
- Возьмите вспомогательную точку \(B\) вне прямой \(OA\) и постройте по случаю 1 её образ \(B_1\) (через \(A_1\) параллельно \(AB\) до пересечения с \(OB\)).
- Теперь пара \(B \to B_1\) лежит вне прямой \(OM\): через \(B_1\) проведите прямую, параллельную \(BM\), до пересечения с прямой \(OA\) — это \(M_1\).
Ответ
M₁ — пересечение прямой OM с прямой, проведённой через A₁ параллельно AM (если M на прямой AA₁ — через вспомогательную пару B, B₁)
Почему так
Прямая, не проходящая через центр гомотетии, переходит в параллельную ей прямую.
Подробнее — в теме «Гомотетия».