Задача 1
Условие (кратко)
Начерчен параллелограмм ABCD, точки O и A₁ на прямой OA. Гомотетия с центром O переводит A в A₁. Пользуясь свойствами гомотетии, постройте образ A₁B₁C₁D₁ параллелограмма.
Решение
- Проведите лучи (прямые) \(OB\), \(OC\), \(OD\) — на них лежат образы вершин.
- Сторона \(AB\) переходит в параллельный ей отрезок: через \(A_1\) проведите прямую, параллельную \(AB\), до пересечения с прямой \(OB\) — это \(B_1\).
- Так же через \(A_1\) параллельно \(AD\) до пересечения с прямой \(OD\) — точка \(D_1\).
- Через \(B_1\) параллельно \(BC\) до пересечения с прямой \(OC\) — точка \(C_1\). Для контроля прямая через \(D_1\), параллельная \(DC\), пройдёт через ту же точку \(C_1\).
- Соедините \(A_1B_1C_1D_1\).
Почему верно: по свойству 1 стороны переходят в параллельные отрезки, а образ каждой точки лежит на прямой, соединяющей её с центром. Полученный четырёхугольник — параллелограмм, подобный \(ABCD\) с коэффициентом \(|k| = \dfrac{OA_1}{OA}\). Если прямая какой-то стороны проходит через \(O\), образ вершины находят через другую сторону.
Ответ
Параллелограмм A₁B₁C₁D₁ со сторонами, параллельными сторонам ABCD, вершины на прямых OB, OC, OD
Почему так
Прямая, не проходящая через центр, переходит в параллельную; образ точки лежит на прямой, соединяющей её с центром.
Подробнее — в теме «Гомотетия».