Окружность с центром C и радиусом r. Постройте её образ при гомотетии с центром O, лежащим на окружности, и k = 1/2.
Решение
Образ центра \(C\) — середина \(C_1\) отрезка \(OC\) (на луче \(OC\), \(OC_1 = \dfrac{1}{2}OC\)).
Проведите окружность с центром \(C_1\) и радиусом \(\dfrac{r}{2}\).
По свойству 3 это образ данной окружности. Точка \(O\) лежит на ней (\(C_1O = \dfrac{r}{2}\)), причём центры \(C\), \(C_1\) и точка \(O\) на одной прямой: новая окружность касается данной изнутри в точке \(O\).
Ответ
Окружность с центром в середине OC и радиусом r/2; она касается данной изнутри в точке O
Почему так
Окружность переходит в окружность с центром в образе центра и радиусом |k|r, а центр гомотетии O неподвижен.
Та же окружность. Постройте её образ при гомотетии с центром O, лежащим на окружности, и k = −1/2.
Решение
На продолжении луча \(OC\) за точку \(O\) отложите \(OC_1 = \dfrac{1}{2}OC = \dfrac{r}{2}\).
Проведите окружность с центром \(C_1\) и радиусом \(\dfrac{r}{2}\).
Она проходит через \(O\), а центры \(C\) и \(C_1\) лежат по разные стороны от \(O\) на одной прямой, \(CC_1 = r + \dfrac{r}{2}\): новая окружность касается данной внешним образом в точке \(O\).
Ответ
Окружность радиуса r/2 с центром на продолжении CO за O, OC₁ = r/2; касается данной извне в точке O
Почему так
При k < 0 центр образа лежит за центром гомотетии, радиус равен |k|r.
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).