Задача 1
Условие (кратко)
Докажите, что если F₁ ∼ F с коэффициентом k, то F ∼ F₁ с коэффициентом 1/k.
Решение
Дано: \(F_1 \sim F\) с коэффициентом \(k\). Доказать: \(F \sim F_1\) с коэффициентом \(\dfrac{1}{k}\).
- По определению есть фигура \(F^*\), гомотетичная \(F\) с центром \(O\) и коэффициентом \(k\) (знак можно считать положительным: гомотетия с \(-k\) — это гомотетия с \(k\) и затем центральная симметрия, а она — движение), и \(F_1 = F^*\), то есть некоторое движение \(\varphi\) переводит \(F^*\) в \(F_1\).
- Гомотетия с центром \(O\) и коэффициентом \(\dfrac{1}{k}\) переводит \(F^*\) обратно в \(F\): если \(\overrightarrow{OM_1} = k\overrightarrow{OM}\), то \(\overrightarrow{OM} = \dfrac{1}{k}\overrightarrow{OM_1}\).
- Движение не портит гомотетию: если \(M_1\) — образ \(M\) при гомотетии с центром \(O\), то \(\varphi(M_1)\) — образ \(\varphi(M)\) при гомотетии с центром \(\varphi(O)\) и тем же коэффициентом. Действительно, движение сохраняет расстояния, переводит прямую \(OM\) в прямую \(\varphi(O)\varphi(M)\) и сохраняет порядок точек на ней.
- Рассмотрим гомотетию с центром \(O' = \varphi(O)\) и коэффициентом \(\dfrac{1}{k}\). По п. 3 она переводит \(F_1 = \varphi(F^*)\) в \(\varphi(F)\) — фигуру, равную \(F\).
- Итак, \(F\) равна фигуре \(\varphi(F)\), гомотетичной \(F_1\) с коэффициентом \(\dfrac{1}{k}\). По определению \(F \sim F_1\) с коэффициентом \(\dfrac{1}{k}\).
Ответ
Утверждение доказано: F ∼ F₁ с коэффициентом 1/k
Почему так
Гомотетия с коэффициентом 1/k обратна гомотетии с коэффициентом k, а движение переносит гомотетию вместе с её центром.
Подробнее — в теме «Подобие произвольных фигур».