Какая фигура подобна углу в 50^\circ?

Угол, в k раз больший

Треугольник с углом 50°

Любой острый угол

Фигура F_1 гомотетична фигуре F с коэффициентом -3. Что можно сказать о подобии?

F₁ подобна F с коэффициентом 3

F₁ подобна F с коэффициентом −3

F₁ не подобна F, так как коэффициент отрицательный

Подобие произвольных фигур — 9 класс, геометрия: объяснение и примеры

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Гомотетия

Коротко о главном

Фигура $$F_1$$ подобна фигуре $$F$$ , если её можно получить из $$F$$ гомотетией, а затем движением (наложением). Коэффициент подобия — модуль коэффициента гомотетии; все расстояния умножаются на него, а углы не меняются.

F_1 \sim F \text{ с коэффициентом } k

Подробное объяснение

Один и тот же план квартиры печатают маленьким в буклете и большим на стенде. Комнаты те же, двери на тех же местах, углы те же — отличается только размер, да и лежать оба листа могут как угодно. Подобие произвольных фигур — точное описание этого «то же самое, только в другом масштабе».

Определение

Раньше подобие определяли только для многоугольников: углы равны, стороны пропорциональны. Для фигуры произвольной формы — облака, буквы, плана — так сказать нельзя. Поэтому пользуются гомотетией:

Фигура $$F_1$$ подобна фигуре $$F$$ , если она равна некоторой фигуре $$F^*$$ , гомотетичной фигуре $$F$$ .

Г-образная фигура F и центр O. Фигура F* получена из F гомотетией с центром O и k = 2. Движением F* переведена в фигуру F1 в другом месте и повёрнутой. — Фигура F1 подобна F, если она равна фигуре F*, гомотетичной F. Здесь коэффициент подобия равен 2.

Иначе говоря, сначала фигуру $$F$$ увеличивают или уменьшают гомотетией, а потом переносят, поворачивают или отражают — это движение не меняет ни размеров, ни формы.

Если $$k$$ — коэффициент гомотетии фигур $$F^*$$ и $$F$$ , то положительное число $$|k|$$ называют коэффициентом подобия фигуры $$F_1$$ относительно $$F$$ . Пишут: $F_1 \sim F$ с коэффициентом $$k$$ , где теперь $$k > 0$$ .

Свойства подобия

Каждая фигура подобна самой себе (гомотетия с $$k = 1$$ и тождественное движение).
Если $F_1 \sim F$ с коэффициентом $$k$$ , то $F \sim F_1$ с коэффициентом $\dfrac{1}{k}$ . Большая карта подобна маленькой с коэффициентом 2 — значит, маленькая подобна большой с коэффициентом $\dfrac{1}{2}$ .
Если $F_2 \sim F_1$ с коэффициентом $$n$$ и $F_1 \sim F$ с коэффициентом $$k$$ , то $F_2 \sim F$ с коэффициентом $$nk$$ . Коэффициенты перемножаются.

Гомотетичные фигуры — частный случай подобных: если $$F_1$$ гомотетична $$F$$ с коэффициентом $$k$$ , то $F_1 \sim F$ с коэффициентом $$|k|$$ (движение здесь просто не нужно).

Что во что переходит

Из свойств гомотетии и движений получается:

фигура, подобная прямой (отрезку, лучу, полуплоскости), — прямая (отрезок, луч, полуплоскость);
фигура, подобная углу, — угол, равный данному;
фигура, подобная окружности, — окружность. Более того, любые две окружности подобны: коэффициент равен отношению радиусов.

Новое определение и старое

Для многоугольников оба определения дают одно и то же. Если многоугольники подобны в новом смысле, то по теореме о гомотетии у них равны углы и пропорциональны стороны. И наоборот: многоугольники с равными углами и пропорциональными сторонами подобны и в новом смысле. Поэтому всё, что известно о подобных многоугольниках (отношение периметров равно $$k$$ , отношение площадей — $$k^2$$ ), продолжает работать.

Как решать задачи

Чтобы доказать подобие двух фигур, найдите гомотетию, которая переводит одну из них в фигуру, равную другой. Обычно центр ставят в удобную точку: в центр окружности, в вершину угла или многоугольника.
Коэффициент подобия — всегда положительное число, отношение соответственных длин.
Обратное подобие — коэффициент $\dfrac{1}{k}$ , цепочка подобий — произведение коэффициентов.
Чтобы доказать, что фигуры не подобны, найдите величину, которая при подобии сохраняется, но у фигур разная: угол, отношение двух отрезков.
В задачах про карты и планы: длины умножаются на масштабный коэффициент, площади — на его квадрат.

Разобранные примеры

База

Масштаб плана

Условие

План участка выполнен в масштабе $$1 : 200$$ . Длина грядки на плане 3 см, ширина 0,5 см. Найдите размеры и площадь грядки на местности.

Дано

масштаб $$1 : 200$$
на плане $$3$$ см и $$0{,}5$$ см

Найти

размеры и площадь грядки

Решение

Участок подобен плану с коэффициентом 200, поэтому каждая длина в 200 раз больше: $3 \cdot 200 = 600$ см $$= 6$$ м, $0{,}5 \cdot 200 = 100$ см $$= 1$$ м. Площадь $6 \cdot 1 = 6$ м².

Ответ: 6 м × 1 м, площадь 6 м²

Средний

Цепочка подобий

Условие

Фотографию увеличили так, что новый снимок подобен исходному с коэффициентом 3. Затем новый снимок уменьшили для открытки с коэффициентом $\dfrac{2}{3}$ . С каким коэффициентом открытка подобна исходной фотографии? Какова на открытке длина отрезка, равного на исходном снимке 4,5 см?

Дано

снимок $F_1 \sim F$ с $$k = 3$$
открытка $F_2 \sim F_1$ с $n = \dfrac{2}{3}$

Найти

коэффициент $F_2 \sim F$
длину отрезка на открытке

Решение

Коэффициенты перемножаются: $nk = \dfrac{2}{3} \cdot 3 = 2$ . Значит, $F_2 \sim F$ с коэффициентом 2, и отрезок $$4{,}5$$ см на открытке равен $2 \cdot 4{,}5 = 9$ см.

Ответ: Коэффициент 2, отрезок 9 см

Сложный

Подобны ли ромбы

Условие

Даны ромб со стороной 2 см и углом $60^\circ$ и ромб со стороной 5 см и углом $45^\circ$ . Подобны ли они?

Дано

ромбы со сторонами 2 см и 5 см
углы $60^\circ$ и $45^\circ$

Найти

подобны ли ромбы

Решение

При подобии угол переходит в равный угол. Если бы ромбы были подобны, у второго нашёлся бы угол, равный $60^\circ$ . Но углы второго ромба — $45^\circ$ и $135^\circ$ . Значит, ромбы не подобны, хотя стороны у каждого равны между собой.

Заметим: ромб со стороной 5 см и углом $60^\circ$ был бы подобен первому с коэффициентом $$2{,}5$$ .

Ответ: Нет, не подобны: у них разные углы

Типичные ошибки

Считают коэффициент подобия отрицательным

Почему неверно

Коэффициент гомотетии может быть отрицательным — он задаёт ещё и сторону от центра. А коэффициент подобия — это отношение длин, он по определению равен $$|k|$$ и всегда положителен.

Как правильно

Если фигура гомотетична данной с $$k = -3$$ , то она подобна ей с коэффициентом 3.

Думают, что подобные фигуры обязательно гомотетичны

Почему неверно

Подобная фигура может быть повёрнута, отражена или сдвинута. Например, разносторонний треугольник и его уменьшенная копия, повёрнутая на $90^\circ$ , подобны, но ни одна гомотетия не переводит одну в другую: при гомотетии соответственные стороны параллельны.

Как правильно

Подобие = гомотетия + движение. Гомотетичные фигуры — только частный случай подобных.

Путают коэффициенты F₁ ∼ F и F ∼ F₁

Почему неверно

Запись « $F_1 \sim F$ с коэффициентом $$k$$ » означает, что размеры $$F_1$$ в $$k$$ раз больше размеров $$F$$ . В обратную сторону коэффициент другой — $\dfrac{1}{k}$ .

Как правильно

Следите, какая фигура стоит первой: коэффициент показывает, во сколько раз первая фигура больше второй.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Даны две окружности радиусов 4 см и 10 см. Подобны ли они? Найдите коэффициент подобия второй окружности относительно первой.

Подсказка

Фигура, подобная окружности, — окружность; радиус умножается на коэффициент.

Решение

Поместим центр гомотетии в центр первой окружности и возьмём $k = \dfrac{10}{4} = 2{,}5$ . Первая окружность перейдёт в окружность радиуса 10 см с тем же центром, а она равна второй окружности (у равных окружностей равны радиусы). Значит, окружности подобны, коэффициент $$2{,}5$$ .

Ответ

Подобны, коэффициент 2,5

База Задача 2

На карте масштаба $1 : 50\,000$ расстояние между двумя сёлами равно 7 см. Каково расстояние на местности в километрах?

Подсказка

Местность подобна карте с коэффициентом 50 000.

Решение

Все расстояния на местности в 50 000 раз больше, чем на карте: $7 \cdot 50\,000 = 350\,000$ см $$= 3{,}5$$ км.

Ответ

3,5 км

Средний Задача 3

Фигура $$F_1$$ подобна фигуре $$F$$ с коэффициентом 4, а фигура $$F_2$$ подобна фигуре $$F_1$$ с коэффициентом $$0{,}75$$ . С каким коэффициентом $$F_2$$ подобна $$F$$ , а $$F$$ подобна $$F_2$$ ?

Подсказка

При последовательном подобии коэффициенты перемножаются; для обратного подобия берут обратное число.

Решение

По свойству подобия: если $F_2 \sim F_1$ с коэффициентом $$n$$ и $F_1 \sim F$ с коэффициентом $$k$$ , то $F_2 \sim F$ с коэффициентом $nk = 0{,}75 \cdot 4 = 3$ . Тогда $F \sim F_2$ с коэффициентом $\dfrac{1}{3}$ .

Ответ

F₂ ∼ F с коэффициентом 3; F ∼ F₂ с коэффициентом 1/3

Средний Задача 4

Докажите, что любые два квадрата подобны.

Подсказка

Подойдёт гомотетия с центром в вершине одного из квадратов.

Решение

Пусть даны квадраты $$ABCD$$ со стороной $$a$$ и $$KLMN$$ со стороной $$b$$ . Гомотетия с центром $$A$$ и коэффициентом $k = \dfrac{b}{a}$ переводит $$ABCD$$ в многоугольник, подобный ему с коэффициентом $\dfrac{b}{a}$ : все углы прямые, все стороны равны $$b$$ , то есть в квадрат со стороной $$b$$ . Квадраты с равными сторонами равны, поэтому этот квадрат равен $$KLMN$$ . По определению $$KLMN$$ подобен $$ABCD$$ с коэффициентом $\dfrac{b}{a}$ .

Ответ

Любые два квадрата подобны, коэффициент равен отношению их сторон

Сложный Задача 5

Верно ли, что любые два прямоугольника подобны?

Подсказка

Сравните отношение соседних сторон у подобных прямоугольников.

Решение

Нет. У подобных фигур все отрезки умножаются на один и тот же коэффициент, поэтому отношение соседних сторон прямоугольника сохраняется. У прямоугольника $1 \times 1$ оно равно 1, а у прямоугольника $1 \times 2$ — равно 2. Значит, эти прямоугольники не подобны.

Ответ

Нет; например, прямоугольники 1 × 1 и 1 × 2 не подобны

Сложный Задача 6

Площадь кухни на плане квартиры масштаба $$1 : 100$$ равна 12 см². Найдите площадь кухни в квадратных метрах.

Подсказка

Длины умножаются на 100, а площади — на квадрат коэффициента.

Решение

Квартира подобна плану с коэффициентом 100. Площади подобных многоугольников относятся как квадрат коэффициента подобия: $12 \cdot 100^2 = 120\,000$ см². В $$1$$ м² $= 10\,000$ см², поэтому площадь кухни $$12$$ м².

Ответ

12 м²

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Откройте карту на телефоне и раздвиньте пальцами: улицы становятся крупнее, но их форма и углы перекрёстков не меняются. Теперь поверните карту — она по-прежнему «та же». Увеличение — это гомотетия, поворот — движение, а вместе они дают подобие. Две любые монеты (окружности) подобны, а вот лист А4 и квадратный стикер — нет: отношение сторон у них разное.

Вопросы для проверки понимания: 1) Подобны ли любые два квадрата? А любые два прямоугольника? 2) Если $F_1 \sim F$ с коэффициентом 5, с каким коэффициентом $F \sim F_1$ ? 3) Может ли коэффициент подобия быть отрицательным?

На что обратить внимание. Главное — понять, что подобие сохраняет углы и отношения отрезков, а меняет только размер, положение и ориентацию. Если ребёнок путает подобие с гомотетией, попросите его привести пример подобных, но не гомотетичных фигур.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 135	1316, 1317, 1318, 1320