Задача 1
Докажите, что если фигура F₂ подобна F₁, а F₁ подобна F, то F₂ подобна F.
Решение
Дано: \(F_2 \sim F_1\) с коэффициентом \(n\), \(F_1 \sim F\) с коэффициентом \(k\). Доказать: \(F_2 \sim F\) (с коэффициентом \(nk\)).
Воспользуемся двумя фактами (коэффициенты гомотетий берём положительными, см. задачу 1317).
Факт 1. Если \(\varphi\) — движение, то \(\varphi\) переводит образ точки \(M\) при гомотетии с центром \(O\) в образ точки \(\varphi(M)\) при гомотетии с центром \(\varphi(O)\) и тем же коэффициентом (движение сохраняет расстояния и порядок точек на прямой).
Факт 2. Гомотетии с одинаковым коэффициентом \(n\) и разными центрами \(P\) и \(O\) переводят фигуру в равные фигуры. Из \(\overrightarrow{PM_1} = n\overrightarrow{PM}\) получаем \(\overrightarrow{OM_1} = n\overrightarrow{OM} + (1 - n)\overrightarrow{OP}\): образы отличаются параллельным переносом на вектор \((1 - n)\overrightarrow{OP}\).
Доказательство.
- \(F_1 = \varphi(F^*)\), где \(\varphi\) — движение, \(F^*\) — образ \(F\) при гомотетии с центром \(O\) и коэффициентом \(k\).
- \(F_2\) равна образу \(G\) фигуры \(F_1\) при гомотетии с некоторым центром \(P\) и коэффициентом \(n\).
- По факту 1 фигура \(G\) равна образу \(F^*\) при гомотетии с центром \(\varphi^{-1}(P)\), а по факту 2 — образу \(F^*\) при гомотетии с центром \(O\) и коэффициентом \(n\).
- Две гомотетии с общим центром \(O\) и коэффициентами \(k\) и \(n\) дают гомотетию с коэффициентом \(nk\): \(\overrightarrow{OM_2} = n\overrightarrow{OM_1} = nk\overrightarrow{OM}\). Значит, \(G\) равна фигуре, гомотетичной \(F\) с коэффициентом \(nk\).
- \(F_2 = G\), а равенство фигур транзитивно, поэтому \(F_2\) равна фигуре, гомотетичной \(F\). По определению \(F_2 \sim F\) с коэффициентом \(nk\).
Ответ
Гомотетию можно перенести движением и сдвинуть центр параллельным переносом, а две гомотетии с общим центром дают гомотетию с произведением коэффициентов.
Подробнее — в теме «Подобие произвольных фигур».