Выясните, что представляет собой фигура F₁, подобная фигуре F, если F — трапеция.
Решение
Дано
\(F\) — трапеция
\(F_1 \sim F\)
Найти
какой фигурой является \(F_1\)
По определению \(F_1\) равна фигуре \(F^*\), гомотетичной \(F\).
При гомотетии многоугольник переходит в подобный многоугольник (п. 134): четырёхугольник — в четырёхугольник, а каждая сторона — в отрезок, параллельный ей или лежащий с ней на одной прямой. Поэтому параллельные основания трапеции переходят в параллельные отрезки, а непараллельные боковые стороны — в непараллельные. Значит, \(F^*\) — трапеция.
Движение сохраняет длины и углы, поэтому \(F_1\), равная \(F^*\), — тоже трапеция.
Итак, \(F_1\) — трапеция, у которой углы равны углам \(F\), а стороны пропорциональны сторонам \(F\).
Ответ
Трапеция (с теми же углами и пропорциональными сторонами)
Почему так
Подобие переводит параллельные прямые в параллельные, а пересекающиеся — в пересекающиеся, сохраняя углы.
Выясните, что представляет собой фигура F₁, подобная фигуре F, если F — пара прямых, пересекающихся под углом 30°.
Решение
Дано
\(F\) — две прямые \(a\) и \(b\)
пересекающиеся в точке \(M\) под углом \(30^\circ\); \(F_1 \sim F\)
Найти
какой фигурой является \(F_1\)
Гомотетия переводит каждую прямую в прямую (свойство 1), точку \(M\) — в одну точку \(M^*\), общую для образов, а угол — в равный ему угол. Значит, образ \(F^*\) — пара прямых, пересекающихся в \(M^*\) под углом \(30^\circ\).
Движение тоже переводит прямые в прямые и сохраняет углы, поэтому \(F_1\), равная \(F^*\), — пара прямых, пересекающихся под углом \(30^\circ\).
Заметим, что любые две такие пары подобны и даже равны: размеров у прямых нет, есть только угол.
Ответ
Пара пересекающихся прямых под углом 30°
Почему так
Фигура, подобная прямой, — прямая, а фигура, подобная углу, — равный ему угол.
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).