Задача 1
Пользуясь теоремой об отрезках пересекающихся хорд, докажите, что перпендикуляр из точки окружности к диаметру есть среднее пропорциональное отрезков, на которые его основание делит диаметр.
Решение
Дано: \(AA_1\) — диаметр, \(B\) — точка окружности, \(BH \perp AA_1\), \(H \in AA_1\). Доказать: \(BH^2 = AH \cdot HA_1\).
-
Продлим \(BH\) за точку \(H\) до пересечения с окружностью в точке \(B_1\). Получилась хорда \(BB_1\), перпендикулярная диаметру \(AA_1\).
-
Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам: \(BH = HB_1\).
-
Хорды \(AA_1\) и \(BB_1\) пересекаются в точке \(H\), по теореме о пересекающихся хордах \(AH \cdot HA_1 = BH \cdot HB_1 = BH^2\).
-
Значит, \(BH = \sqrt{AH \cdot HA_1}\) — среднее пропорциональное отрезков \(AH\) и \(HA_1\).
Ответ
Перпендикуляр к диаметру продолжается до хорды, которую диаметр делит пополам, и применяется теорема о пересекающихся хордах.
Подробнее — в теме «Применение подобия фигур к доказательствам и задачам».