Задача 1
В треугольнике ABC сторона AB = 6, медиана к ней равна 4. Две окружности проходят через C и касаются AB — одна в точке A, другая в точке B. Найдите их общую хорду.
Решение
- \(\triangle ABC\)
- \(AB = 6\)
- \(M\) — середина \(AB\)
- \(CM = 4\); окружность \(\omega_1\) проходит через \(C\) и касается \(AB\) в точке \(A\)
- окружность \(\omega_2\) проходит через \(C\) и касается \(AB\) в точке \(B\)
- длину общей хорды
-
Точка \(M\) лежит на касательной \(AB\) и отлична от \(A\) и \(B\), поэтому она внешняя для обеих окружностей. \(MA = MB = 3\).
-
Прямая \(MC\) — секущая для \(\omega_1\); пусть она пересекает \(\omega_1\) ещё в точке \(D_1\). По теореме о квадрате отрезка касательной \(MA^2 = MC \cdot MD_1\), откуда \(MD_1 = \dfrac{9}{4}\).
-
Так же для \(\omega_2\) и второй точки \(D_2\) на прямой \(MC\): \(MB^2 = MC \cdot MD_2\), \(MD_2 = \dfrac{9}{4}\).
-
Точки \(D_1\) и \(D_2\) лежат на луче \(MC\) (точка \(M\) вне окружностей) на одном расстоянии от \(M\), значит, совпадают. Общая точка окружностей, кроме \(C\), — это \(D = D_1 = D_2\), и общая хорда — \(CD\).
-
\(CD = MC - MD = 4 - \dfrac{9}{4} = \dfrac{7}{4} = 1{,}75\).
Ответ
Из середины AB касательные к обеим окружностям равны, поэтому прямая через C и середину AB высекает из обеих окружностей одну и ту же хорду.
Подробнее — в теме «Применение подобия фигур к доказательствам и задачам».