Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 136

Упражнение 1330 к § 136

Задача 1

Условие (кратко)

Через точку M вне окружности с центром O и радиусом R проведена секущая, пересекающая окружность в точках A и B. Докажите, что MA · MB = MO² − R².

Решение

Дано: окружность $$(O; R)$$ , $$MO > R$$ , секущая пересекает окружность в точках $$A$$ и $$B$$ . Доказать: $MA \cdot MB = MO^2 - R^2$ .

Проведём прямую $$MO$$ . Она пересекает окружность в двух точках $$P$$ и $$Q$$ ( $$P$$ ближе к $$M$$ ). Так как $$O$$ — середина диаметра $$PQ$$ и $$M$$ лежит вне окружности на продолжении диаметра, $$MP = MO - R$$ , $$MQ = MO + R$$ .
По теореме о произведении отрезков секущих (п. 136) $MA \cdot MB = MP \cdot MQ$ .
$MP \cdot MQ = (MO - R)(MO + R) = MO^2 - R^2$ . Значит, $MA \cdot MB = MO^2 - R^2$ .

Если секущая сама проходит через $$O$$ , то $$A = P$$ , $$B = Q$$ , и равенство получается сразу из шага 3.

Ответ

Утверждение доказано: MA · MB = MO² − R²

Почему так

Вторую секущую проводят через центр — её отрезки равны MO − R и MO + R, и применяют теорему о двух секущих.