Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 136

Упражнение 1331 к § 136

Задача 1

Условие (кратко)

Через точку M внутри окружности с центром O и радиусом R проходит хорда AB. Докажите, что MA · MB = R² − MO².

Решение

Дано: окружность $$(O; R)$$ , $$MO < R$$ , хорда $$AB$$ проходит через $$M$$ . Доказать: $MA \cdot MB = R^2 - MO^2$ .

Если $$M$$ совпадает с $$O$$ , то $$AB$$ — диаметр, $$MA = MB = R$$ и $MA \cdot MB = R^2 = R^2 - 0$ .
Пусть $M \ne O$ . Проведём через $$M$$ диаметр $$PQ$$ (по прямой $$OM$$ ), $$P$$ — ближний к $$M$$ конец. Тогда $$MP = R - MO$$ , $$MQ = R + MO$$ .
Хорды $$AB$$ и $$PQ$$ пересекаются в точке $$M$$ . По теореме о пересекающихся хордах $MA \cdot MB = MP \cdot MQ = (R - MO)(R + MO) = R^2 - MO^2$ .

Ответ

Утверждение доказано: MA · MB = R² − MO²

Почему так

Вторую хорду проводят через центр — её отрезки равны R − MO и R + MO, и применяют теорему о пересекающихся хордах.