Задача 1
Окружности пересекаются в точках A и B. Из точки K прямой AB вне окружностей проведены секущие m (пересекает одну окружность в C и D) и l (другую в E и F). Докажите, что KC · KD = KE · KF.
Решение
Дано: окружности \(\omega_1\) и \(\omega_2\) пересекаются в точках \(A\) и \(B\); \(K \in AB\), \(K\) вне окружностей; \(m\) пересекает \(\omega_1\) в точках \(C\), \(D\), \(l\) пересекает \(\omega_2\) в точках \(E\), \(F\). Доказать: \(KC \cdot KD = KE \cdot KF\).
-
Прямая \(KAB\) — секущая для обеих окружностей: точки \(A\) и \(B\) лежат и на \(\omega_1\), и на \(\omega_2\).
-
Для \(\omega_1\) из точки \(K\) проведены секущие \(KCD\) и \(KAB\). По теореме о произведении отрезков секущих \(KC \cdot KD = KA \cdot KB\).
-
Для \(\omega_2\) — секущие \(KEF\) и \(KAB\): \(KE \cdot KF = KA \cdot KB\).
-
Правые части равны, значит, \(KC \cdot KD = KE \cdot KF\).
Ответ
Общая секущая KAB связывает обе окружности через теорему о произведении отрезков секущих.
Подробнее — в теме «Применение подобия фигур к доказательствам и задачам».