Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 136

Упражнение 1333 к § 136

§ 136. Применение подобия к доказательству теорем · тема: Применение подобия фигур к доказательствам и задачам

Задача 1

Условие (кратко)

Клетки 1 × 1 см (рис. 411, а): A — на 4 клетки правее и 3 выше M; горизонталь через M пересекает окружность в узлах на 4 и 10 см от M. Найдите отрезок MA секущей и хорду AB.

Решение

Дано

клетки $1 \times 1$ см; от $$M$$ до $$A$$ — 4 клетки по горизонтали и 3 по вертикали; горизонтальная прямая через $$M$$ пересекает окружность в узлах $$P$$ и $$Q$$
$$MP = 4$$ см
$$MQ = 10$$ см

Найти

$$MA$$
$$AB$$

По теореме Пифагора $MA = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ см.
Секущие $$MAB$$ и $$MPQ$$ проведены из одной точки, поэтому $MA \cdot MB = MP \cdot MQ = 4 \cdot 10 = 40$ , $$MB = 40 : 5 = 8$$ см.
$$AB = MB - MA = 8 - 5 = 3$$ см.

Ответ

MA = 5 см, AB = 3 см

Почему так

Длину MA даёт теорема Пифагора по клеткам, а хорду — теорема о произведении отрезков двух секущих.

Подробнее — в теме «Применение подобия фигур к доказательствам и задачам».

Задача 2

Условие (кратко)

Клетки 1 × 1 см (рис. 411, б): MA — касательная к окружности; прямая через M по линии сетки пересекает окружность в узлах на 3 и 12 см от M. Найдите длину отрезка касательной AM.

Решение

Дано

клетки $1 \times 1$ см; $$MA$$ — отрезок касательной; горизонтальная прямая через $$M$$ пересекает окружность в узлах $$P$$ и $$Q$$
$$MP = 3$$ см
$$MQ = 12$$ см

Найти

$$AM$$

По теореме о квадрате отрезка касательной $AM^2 = MP \cdot MQ = 3 \cdot 12 = 36$ , откуда $$AM = 6$$ см.

Точка касания $$A$$ не лежит в узле сетки, поэтому длину удобно найти именно так, а не по клеткам.

Ответ

AM = 6 см

Почему так

Квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей, проведённой по линии сетки.

Подробнее — в теме «Применение подобия фигур к доказательствам и задачам».

Задача 3

Условие (кратко)

Клетки 1 × 1 см (рис. 411, в): M внутри окружности, второй конец хорды AM — на 4 клетки левее и 3 ниже M; горизонталь через M пересекает окружность в узлах на 4 и 2 см от M. Найдите AM.

Решение

Дано

клетки $1 \times 1$ см; хорда проходит через $$M$$
её концы $$A$$ и $$P$$
от $$M$$ до $$P$$ — 4 клетки по горизонтали и 3 по вертикали; горизонтальная хорда через $$M$$ имеет концы в узлах на расстоянии 4 см и 2 см от $$M$$

Найти

$$AM$$

$MP = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ см.
Хорды пересекаются в точке $$M$$ , поэтому $AM \cdot MP = 4 \cdot 2 = 8$ , $$AM = 8 : 5 = 1{,}6$$ см.

Ответ

AM = 1,6 см

Почему так

Длинный отрезок хорды находят по клеткам, а короткий — из теоремы о пересекающихся хордах.

Подробнее — в теме «Применение подобия фигур к доказательствам и задачам».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Похожие задачи для тренировки