Задача 1
В остроугольный △ABC впишите квадрат PQRS так, чтобы P и Q лежали на стороне AC, R — на BC, S — на BA (рис. 412; в учебнике опечатка «P и S» вместо «R и S»).
Решение
Идея: сначала строим квадрат, у которого выполнены все условия, кроме одного (вершина \(R\) на \(BC\)), а затем гомотетией с центром \(A\) переводим его в искомый.
-
На стороне \(AB\) возьмём любую точку \(S_1\) (ближе к \(A\)) и опустим перпендикуляр \(S_1P_1\) на \(AC\).
-
На луче \(P_1C\) отложим \(P_1Q_1 = P_1S_1\) и достроим квадрат \(P_1Q_1R_1S_1\) (вершина \(R_1\) — по ту же сторону от \(AC\), что и \(B\)).
-
Проведём луч \(AR_1\); он пересекает сторону \(BC\) в точке \(R\).
-
Через \(R\) проведём прямую, параллельную \(AC\); она пересекает \(AB\) в точке \(S\). Опустим перпендикуляры \(SP\) и \(RQ\) на \(AC\). \(PQRS\) — искомый квадрат.
Почему это верно: гомотетия с центром \(A\) и коэффициентом \(k = \dfrac{AR}{AR_1}\) переводит \(R_1\) в \(R\), луч \(AB\) — в себя, прямую \(AC\) — в себя. Квадрат \(P_1Q_1R_1S_1\) переходит в квадрат (гомотетия сохраняет углы и умножает все стороны на \(k\)), у которого \(P\) и \(Q\) на \(AC\), \(S\) на \(AB\), \(R\) на \(BC\) — это и есть построенный \(PQRS\). Углы \(A\) и \(C\) острые, поэтому основания перпендикуляров попадают на сторону \(AC\).
Ответ
Строят квадрат, удовлетворяющий части условий, и гомотетией с центром в вершине A переводят его в искомый.
Подробнее — в теме «Применение подобия фигур к доказательствам и задачам».