Задача 1
В треугольник ABC впишите прямоугольник PQRS, подобный данному прямоугольнику P₁Q₁R₁S₁, так, чтобы вершины P и Q лежали на AC, а R и S — на сторонах BC и BA соответственно.
Решение
Будем считать углы \(A\) и \(C\) острыми (иначе прямоугольник с двумя вершинами на \(AC\) может не уместиться). Используем метод задачи 2 п. 137.
-
На стороне \(AB\) возьмём любую точку \(S'\) и опустим перпендикуляр \(S'P'\) на \(AC\).
-
Построим отрезок \(P'Q'\) на луче \(P'C\), четвёртый пропорциональный: \(\dfrac{P'Q'}{P'S'} = \dfrac{P_1Q_1}{P_1S_1}\) (например, отложив на сторонах вспомогательного угла отрезки \(P_1S_1\), \(P_1Q_1\), \(P'S'\) и проведя параллельные прямые). Достроим прямоугольник \(P'Q'R'S'\); он подобен \(P_1Q_1R_1S_1\), потому что углы прямые, а отношения смежных сторон равны.
-
Луч \(AR'\) пересекает \(BC\) в точке \(R\). Через \(R\) проведём прямую, параллельную \(AC\), до пересечения с \(AB\) в точке \(S\), и опустим перпендикуляры \(SP\) и \(RQ\) на \(AC\).
-
\(PQRS\) — образ \(P'Q'R'S'\) при гомотетии с центром \(A\) и \(k = \dfrac{AR}{AR'}\), поэтому он подобен \(P'Q'R'S'\), а значит, и \(P_1Q_1R_1S_1\); его вершины лежат на нужных сторонах.
Ответ
Строят подобный прямоугольник с тремя вершинами на нужных сторонах и гомотетией с центром A переводят четвёртую вершину на BC.
Подробнее — в теме «Применение подобия фигур к доказательствам и задачам».