Задача 1
Даны угол hk и точка A внутри него. Постройте треугольник PQR, подобный треугольнику P₁Q₁R₁, так, чтобы P и Q лежали на h, R — на k, а A — на отрезке QR (рис. 413).
Решение
Пусть \(O\) — вершина угла. Сначала строим треугольник, подобный данному, с вершинами на сторонах угла, а потом гомотетией с центром \(O\) добиваемся, чтобы \(QR\) прошёл через \(A\).
-
На луче \(h\) отметим точки \(P''\) и \(Q''\) (\(P''\) ближе к \(O\)) и по одну сторону с лучом \(k\) построим углы, равные \(\angle P_1\) и \(\angle Q_1\). Их стороны пересекутся в точке \(R''\); \(\triangle P''Q''R'' \sim \triangle P_1Q_1R_1\) по двум углам.
-
Через \(R''\) проведём прямую, параллельную \(h\); она пересечёт луч \(k\) в точке \(R'\). Сдвинем треугольник вдоль \(h\) на вектор \(\overrightarrow{R''R'}\): получим \(\triangle P'Q'R'\) с \(P', Q' \in h\), \(R' \in k\), равный \(\triangle P''Q''R''\).
-
Луч \(OA\) лежит внутри угла и пересекает отрезок \(Q'R'\) в точке \(A'\).
-
Гомотетия с центром \(O\) и \(k = \dfrac{OA}{OA'}\) переводит \(A'\) в \(A\), лучи \(h\) и \(k\) — в себя. Образ \(\triangle P'Q'R'\) — искомый \(\triangle PQR\): он подобен \(P_1Q_1R_1\), \(P, Q \in h\), \(R \in k\), а \(A\) лежит на \(QR\) как образ точки \(A'\) отрезка \(Q'R'\).
Ответ
Метод подобия — строят подобный треугольник с вершинами на сторонах угла и гомотетией с центром в вершине угла переводят его в искомый.
Подробнее — в теме «Применение подобия фигур к доказательствам и задачам».