Задача 1
Даны прямая l и точка O вне её. С помощью гомотетии с центром O докажите, что середины всех отрезков OX, где X — точка прямой l, лежат на прямой, параллельной l, и заполняют её.
Решение
Дано: прямая \(l\), \(O \notin l\), \(X \in l\), \(Y\) — середина \(OX\). Доказать: множество точек \(Y\) — прямая, параллельная \(l\).
-
\(Y\) лежит на луче \(OX\) и \(OY = \dfrac{1}{2}OX\), значит, \(Y\) — образ \(X\) при гомотетии с центром \(O\) и \(k = \dfrac{1}{2}\).
-
Прямая \(l\) не проходит через центр, поэтому по свойству 1° п. 134 она переходит в параллельную ей прямую \(l_1\). Все середины \(Y\) лежат на \(l_1\).
-
Обратно: любая точка \(Y\) прямой \(l_1\) — образ некоторой точки \(X\) прямой \(l\) (той, что на луче \(OY\) при \(OX = 2OY\)), поэтому \(Y\) — середина \(OX\).
Значит, искомое множество — прямая \(l_1 \parallel l\).
Ответ
Середины — образы точек прямой l при гомотетии с центром O и k = 1/2, а прямая, не проходящая через центр, переходит в параллельную.
Подробнее — в теме «Применение подобия фигур к доказательствам и задачам».