Задача 1
Даны прямая l и точка O вне её, X — любая точка l. С помощью гомотетии с центром O докажите, что точки, делящие OX в отношении 1 : 3 от O, образуют прямую, параллельную l.
Решение
Дано: прямая \(l\), \(O \notin l\), \(X \in l\), точка \(Y \in OX\), \(OY : YX = 1 : 3\). Доказать: множество точек \(Y\) — прямая, параллельная \(l\).
-
Из \(OY : YX = 1 : 3\) получаем \(OY = \dfrac{1}{4}OX\), и \(Y\) лежит на луче \(OX\). Значит, \(Y\) — образ \(X\) при гомотетии с центром \(O\) и \(k = \dfrac{1}{4}\).
-
Прямая \(l\) не проходит через \(O\), поэтому при этой гомотетии переходит в параллельную прямую \(l_1\) (свойство 1° п. 134); все точки \(Y\) лежат на \(l_1\).
-
Каждая точка \(l_1\) — образ некоторой точки \(X \in l\), то есть делит соответствующий отрезок \(OX\) в отношении \(1 : 3\).
Значит, искомое множество — прямая \(l_1 \parallel l\).
Ответ
Точка, делящая OX в отношении 1 : 3 от O, — образ X при гомотетии с центром O и k = 1/4.
Подробнее — в теме «Применение подобия фигур к доказательствам и задачам».