Задача 1
Через точку A окружности проведены всевозможные хорды. С помощью гомотетии с центром A докажите, что точки, делящие хорды в отношении 1 : 3 от A, лежат на окружности. Где её центр?
Решение
Дано: окружность с центром \(C\) и радиусом \(r\), точка \(A\) на ней, \(AX\) — хорда, \(Y \in AX\), \(AY : YX = 1 : 3\). Доказать: точки \(Y\) образуют окружность; найти её центр.
-
\(AY = \dfrac{1}{4}AX\) и \(Y\) лежит на луче \(AX\), значит, \(Y\) — образ \(X\) при гомотетии с центром \(A\) и \(k = \dfrac{1}{4}\) (способ задачи 1 п. 137).
-
По свойству 3° п. 134 исходная окружность переходит в окружность с центром \(C_1\) — образом точки \(C\) — и радиусом \(\dfrac{1}{4}r\). Точка \(C_1\) лежит на отрезке \(AC\) и \(AC_1 = \dfrac{1}{4}AC = \dfrac{r}{4}\).
-
Каждая точка \(Y\) лежит на этой окружности, и каждая её точка (кроме самой \(A\), которая соответствует «нулевой» хорде) получается из некоторой хорды \(AX\).
Центр окружности — точка радиуса \(CA\) на расстоянии \(\dfrac{r}{4}\) от \(A\), то есть она делит \(AC\) в отношении \(1 : 3\), считая от \(A\).
Ответ
Точки деления — образы концов хорд при гомотетии с центром A и k = 1/4, а окружность переходит в окружность.
Подробнее — в теме «Применение подобия фигур к доказательствам и задачам».