Задача 1
M делит медиану AA₁ треугольника ABC в отношении 2 : 1 от вершины, B₁ — середина AC. Не используя свойство медиан, докажите: гомотетия с центром M и k = −1/2 переводит A в A₁, B в B₁.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), \(A_1\) и \(B_1\) — середины \(BC\) и \(AC\), \(M \in AA_1\), \(AM : MA_1 = 2 : 1\); \(H\) — гомотетия с центром \(M\) и \(k = -\dfrac{1}{2}\). Доказать: \(H(A) = A_1\), \(H(B) = B_1\), \(H(AB) = A_1B_1\).
-
Точка \(A_1\) лежит на продолжении луча \(MA\) за точку \(M\) и \(MA_1 = \dfrac{1}{2}MA\). По определению гомотетии с \(k = -\dfrac{1}{2}\) это и есть образ точки \(A\).
-
Пусть \(B'\) — образ точки \(B\). В векторной форме гомотетии \(\overrightarrow{MA_1} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{MA}\), \(\overrightarrow{MB'} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{MB}\). Вычтем: \(\overrightarrow{A_1B'} = -\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MA}) = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\).
-
\(A_1B_1\) — средняя линия треугольника \(ABC\). Гомотетия с центром \(C\) и коэффициентом \(\dfrac{1}{2}\) переводит \(B\) в \(A_1\), а \(A\) — в \(B_1\), поэтому \(\overrightarrow{A_1B_1} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\).
-
Из шагов 2 и 3 \(\overrightarrow{A_1B'} = \overrightarrow{A_1B_1}\), поэтому \(B' = B_1\). По свойству 2° п. 134 отрезок \(AB\) переходит в отрезок \(A_1B_1\).
Ответ
Образ A находят по определению гомотетии, а образ B — сравнивая вектор A₁B′ = −½AB с вектором средней линии A₁B₁.
Подробнее — в теме «Применение подобия фигур к доказательствам и задачам».