Задача 1
Пользуясь задачей 1340, докажите теорему: три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\) — медианы, \(M \in AA_1\), \(AM : MA_1 = 2 : 1\). Доказать: \(M\) лежит на \(BB_1\) и \(CC_1\) и делит их в отношении \(2 : 1\) от вершин.
-
По задаче 1340 гомотетия с центром \(M\) и \(k = -\dfrac{1}{2}\) переводит \(B\) в \(B_1\). По определению гомотетии с отрицательным коэффициентом \(B_1\) лежит на продолжении луча \(MB\) за точку \(M\) и \(MB_1 = \dfrac{1}{2}MB\).
-
Значит, \(M\) лежит на отрезке \(BB_1\), то есть на медиане \(BB_1\), и \(BM : MB_1 = 2 : 1\).
-
Задача 1340 верна для любой из двух других вершин: если взять вместо \(B\) вершину \(C\) и середину \(C_1\) стороны \(AB\), те же рассуждения покажут, что гомотетия переводит \(C\) в \(C_1\). Поэтому \(M\) лежит на медиане \(CC_1\) и \(CM : MC_1 = 2 : 1\).
-
Итак, все три медианы проходят через точку \(M\), и она делит каждую в отношении \(2 : 1\), считая от вершины.
Ответ
Гомотетия с центром M и k = −1/2 переводит каждую вершину в середину противоположной стороны, поэтому M лежит на всех медианах.
Подробнее — в теме «Применение подобия фигур к доказательствам и задачам».