Задача 1
В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом A основание AD = 12 см, AB = 5 см, ∠D = 45°. Найдите длины векторов BD, CD и AC.
Решение
- \(ABCD\) — трапеция
- \(AD \parallel BC\)
- \(\angle A = 90^\circ\)
- \(AD = 12\) см
- \(AB = 5\) см
- \(\angle D = 45^\circ\)
- \(|\overrightarrow{BD}|\)
- \(|\overrightarrow{CD}|\)
- \(|\overrightarrow{AC}|\)
-
Треугольник \(ABD\) прямоугольный: \(BD = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13\) см.
-
Проведём высоту \(CH\) к основанию \(AD\). \(ABCH\) — прямоугольник, поэтому \(CH = AB = 5\) см и \(AH = BC\).
-
В треугольнике \(CHD\) \(\angle H = 90^\circ\), \(\angle D = 45^\circ\), значит, он равнобедренный: \(HD = CH = 5\) см, а \(CD = \sqrt{5^2 + 5^2} = 5\sqrt{2}\) см.
-
\(BC = AH = AD - HD = 12 - 5 = 7\) см. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) (\(\angle B = 90^\circ\)): \(AC = \sqrt{5^2 + 7^2} = \sqrt{74}\) см.
В ответах учебника для \(|\overrightarrow{AC}|\) напечатано «74 см» — пропущен знак корня.
Ответ
Длины векторов — длины отрезков; высота трапеции отсекает равнобедренный прямоугольный треугольник, остальное — теорема Пифагора.
Подробнее — в теме «Понятие вектора. Равенство векторов».