Какой вектор называют нулевым?

Вектор, у которого начало совпадает с концом

Вектор, лежащий на оси абсцисс

Вектор, перпендикулярный данному

ABCD — параллелограмм, который не является прямоугольником. Какие утверждения верны?

\overrightarrow{AB} \uparrow\downarrow \overrightarrow{CD}

\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CB}

Два ненулевых вектора коллинеарны, и их длины равны. Что можно сказать о них?

Они равны, только если сонаправлены

Они обязательно равны

Они обязательно противоположно направлены

Они лежат на одной прямой

Какие утверждения верны?

Нулевой вектор коллинеарен любому вектору

Противоположно направленные векторы могут иметь равные длины

Сонаправленные векторы всегда равны

Понятие вектора. Равенство векторов

Коротко о главном

Вектор — это отрезок, у которого указаны начало и конец, то есть направленный отрезок. Два вектора равны, если они сонаправлены и имеют одинаковые длины.

\vec{a} = \vec{b} \iff \vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b} \ \text{и} \ |\vec{a}| = |\vec{b}|

Подробное объяснение

Скажите таксисту «проедем 3 километра» — он спросит: «Куда?» Для одних величин достаточно числа (масса, время, площадь), для других важно ещё и направление: скорость, сила, перемещение. Такие величины называют векторными, а в геометрии их изображают стрелками.

Что такое вектор

У отрезка $$AB$$ два конца, и по нему можно пройти в две стороны. Если договориться, что $$A$$ — начало, а $$B$$ — конец, получится направленный отрезок, или вектор $\overrightarrow{AB}$ . Первая буква — начало, вторая — конец, поэтому $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BA}$ — разные векторы. Часто вектор обозначают одной строчной буквой со стрелкой: $\vec{a}$ , $\vec{b}$ .

Удобно считать вектором и любую точку: у такого вектора начало совпадает с концом. Это нулевой вектор, его пишут $\overrightarrow{MM}$ или $\vec{0}$ .

Длина (модуль) вектора $\overrightarrow{AB}$ — длина отрезка $$AB$$ , обозначается $|\overrightarrow{AB}|$ . Длина нулевого вектора равна нулю. Длину часто находят по теореме Пифагора: если вектор нарисован на клетчатой бумаге и сдвигается на 3 клетки вправо и на 4 вверх, его длина $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ клеток.

Коллинеарные векторы

Ненулевые векторы коллинеарны, если лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому.

Коллинеарные ненулевые векторы смотрят либо в одну сторону — сонаправлены, $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$ , — либо в разные — противоположно направлены, $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{c}$ . Нулевой вектор по договорённости сонаправлен с любым.

На трёх параллельных прямых векторы a и b одной длины направлены вправо, вектор c — влево. Вектор d идёт наискосок, точка M — нулевой вектор. — Векторы a и b равны; a и c коллинеарны, но противоположно направлены; d с ними не коллинеарен.

Равные векторы

Векторы равны, если они сонаправлены и их длины равны. Важно, что начало вектора тут ни при чём: стрелки скорости у всех точек едущего вагона нарисованы в разных местах, но это равные векторы. Поэтому от любой точки $$M$$ можно отложить вектор, равный данному, и только один: провести через $$M$$ прямую, параллельную вектору, отложить на ней отрезок той же длины и выбрать нужную сторону.

Самый частый случай в задачах — параллелограмм $$ABCD$$ : противоположные стороны параллельны и равны, поэтому $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ и $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ . А вот $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ противоположно направлены, они не равны. Верно и обратное: если $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ и точки не на одной прямой, то $$ABCD$$ — параллелограмм.

Как решать задачи

Подпишите на чертеже начало и конец каждого вектора — порядок букв важен.
Длину вектора ищите как длину отрезка: по свойствам фигуры, теореме Пифагора, свойствам медианы.
Чтобы проверить коллинеарность, ищите параллельные прямые или одну прямую.
Чтобы проверить равенство, убедитесь в двух вещах: векторы сонаправлены (смотрят в одну сторону) и их длины равны. Не выполнено хотя бы одно — векторы не равны.

Разобранные примеры

База

Длины векторов в прямоугольнике

Условие

В прямоугольнике $$KLMN$$ стороны $$KL = 5$$ см и $$LM = 12$$ см. Найдите длины векторов $\overrightarrow{KL}$ , $\overrightarrow{MN}$ и $\overrightarrow{KM}$ .

Дано

$$KLMN$$ — прямоугольник
$$KL = 5$$ см
$$LM = 12$$ см

Найти

$|\overrightarrow{KL}|$
$|\overrightarrow{MN}|$
$|\overrightarrow{KM}|$

Решение

$|\overrightarrow{KL}| = KL = 5$ см. Противоположные стороны прямоугольника равны, $|\overrightarrow{MN}| = MN = KL = 5$ см. Диагональ найдём по теореме Пифагора в треугольнике $$KLM$$ : $KM = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13$ см.

Ответ: |KL| = 5 см, |MN| = 5 см, |KM| = 13 см

Средний

Равны ли векторы в трапеции

Условие

$$ABCD$$ — трапеция с основаниями $$AD = 10$$ см и $$BC = 4$$ см, $$M$$ и $$N$$ — середины $$AB$$ и $$CD$$ . Равны ли векторы $\overrightarrow{MN}$ и $\overrightarrow{BC}$ ? Коллинеарны ли они?

Решение

$$MN$$ — средняя линия, она параллельна основаниям, поэтому $\overrightarrow{MN}$ и $\overrightarrow{BC}$ коллинеарны. Оба вектора идут от боковой стороны $$AB$$ к боковой стороне $$CD$$ , значит, сонаправлены. Но $MN = \dfrac{10 + 4}{2} = 7$ см, а $$BC = 4$$ см — длины разные, поэтому векторы не равны.

Ответ: Коллинеарны и сонаправлены, но не равны

Сложный

Равные векторы и параллелограмм

Условие

Точки $$A$$ , $$B$$ , $$C$$ не лежат на одной прямой, и $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ . Докажите, что $$ABDC$$ — параллелограмм.

Решение

Дано: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ , точки $$A$$ , $$B$$ , $$C$$ не на одной прямой. Доказать: $$ABDC$$ — параллелограмм.

Равные векторы коллинеарны, а $$C$$ не лежит на прямой $$AB$$ , поэтому $CD \parallel AB$ . Длины равны: $$CD = AB$$ . Векторы сонаправлены, значит, точки $$B$$ и $$D$$ лежат по одну сторону от прямой $$AC$$ , и отрезки $$AB$$ , $$CD$$ — противоположные стороны четырёхугольника $$ABDC$$ . Четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны и равны, — параллелограмм.

Ответ: Доказано: ABDC — параллелограмм

Типичные ошибки

Путают векторы AB и BA

Почему неверно

У $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BA}$ одна и та же длина, но направления противоположны. Это разные векторы, $\overrightarrow{AB} \ne \overrightarrow{BA}$ (если $A \ne B$ ).

Как правильно

Читайте обозначение слева направо: первая буква — откуда выходит стрелка, вторая — куда приходит.

Считают равными векторы одинаковой длины

Почему неверно

Равенство длин — только половина определения. Стороны квадрата равны, но $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BC}$ перпендикулярны, а $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ смотрят в разные стороны.

Как правильно

Проверяйте два условия: векторы сонаправлены и их длины равны.

Думают, что равные векторы должны совпадать

Почему неверно

Вектор можно отложить от любой точки. Векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{DC}$ в параллелограмме $$ABCD$$ лежат на разных прямых, но равны.

Как правильно

Положение начала не важно — сравнивайте только направление и длину.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Сторона квадрата ABCD равна 6 см. Найдите длины векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BD}$ .

Подсказка

Длина вектора — это длина отрезка между его началом и концом.

Решение

$|\overrightarrow{AB}| = AB = 6$ см. $$BD$$ — диагональ квадрата, по теореме Пифагора $BD = \sqrt{6^2 + 6^2} = 6\sqrt{2}$ см, поэтому $|\overrightarrow{BD}| = 6\sqrt{2}$ см.

Ответ

|AB| = 6 см, |BD| = 6√2 см

База Задача 2

Отмечены четыре точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Сколько ненулевых векторов с началом и концом в этих точках можно построить?

Подсказка

Начало можно выбрать четырьмя способами, а конец — любой из оставшихся точек.

Решение

Начало вектора — любая из 4 точек, конец — любая из 3 других. Векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BA}$ разные, поэтому всего $4 \cdot 3 = 12$ векторов.

Ответ

12 векторов

Средний Задача 3

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O. Назовите вектор с началом в точке O, равный вектору $\overrightarrow{AO}$ , и вектор с началом в точке A, равный вектору $\overrightarrow{BC}$ .

Подсказка

Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, а противоположные стороны параллельны и равны.

Решение

Точка $$O$$ — середина $$AC$$ , поэтому $\overrightarrow{AO}$ и $\overrightarrow{OC}$ лежат на одной прямой, направлены одинаково и имеют равные длины, значит, $\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{OC}$ . Стороны $$BC$$ и $$AD$$ параллельны и равны, а векторы $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{AD}$ направлены в одну сторону, поэтому $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$ .

Ответ

Вектор OC и вектор AD

Средний Задача 4

В прямоугольном треугольнике ABC угол C прямой, AC = 6 см, BC = 8 см, M — середина гипотенузы AB. Найдите длины векторов $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{MB}$ и $\overrightarrow{CM}$ .

Подсказка

Медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине.

Решение

$AB = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ см, $MB = \dfrac{10}{2} = 5$ см. Медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы, поэтому $$CM = 5$$ см. Итак, $|\overrightarrow{AB}| = 10$ см, $|\overrightarrow{MB}| = |\overrightarrow{CM}| = 5$ см.

Ответ

|AB| = 10 см, |MB| = 5 см, |CM| = 5 см

Сложный Задача 5

ABCDEF — правильный шестиугольник, O — его центр. Сколько векторов с началом и концом в точках A, B, C, D, E, F, O, кроме самого $\overrightarrow{AB}$ , равны вектору $\overrightarrow{AB}$ ? Назовите их.

Подсказка

Правильный шестиугольник делится отрезками OA, OB, …, OF на шесть равносторонних треугольников.

Решение

Все шесть треугольников $$OAB$$ , $$OBC$$ , … равносторонние, поэтому каждый отрезок между соседними из этих семи точек равен стороне $$AB$$ . Четырёхугольники $$ABOF$$ , $$ABCO$$ и $$OCDE$$ — ромбы, а в параллелограмме векторы противоположных сторон, «идущих в одну сторону», равны. Отсюда $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{FO}$ , $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OC}$ и $\overrightarrow{ED} = \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{AB}$ . Векторы $\overrightarrow{OF}$ , $\overrightarrow{CO}$ , $\overrightarrow{DE}$ противоположно направлены, вектор $\overrightarrow{FC}$ вдвое длиннее.

Ответ

3 вектора — FO, OC, ED

Сложный Задача 6

Точки A, B, C, D лежат на одной прямой, и $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ . Докажите, что $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}$ .

Подсказка

Введите на прямой координатную ось и запишите равенство векторов через координаты концов.

Решение

Введём на прямой ось, и пусть точки имеют координаты $$a$$ , $$b$$ , $$c$$ , $$d$$ . Вектор на оси задаётся разностью «конец минус начало» — её модуль равен длине, а знак показывает направление. Равенство $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ значит $$b - a = d - c$$ . Перенесём слагаемые — $$c - a = d - b$$ . Это и есть равенство разностей для векторов $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{BD}$ , то есть они сонаправлены и имеют равные длины, $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}$ .

Ответ

Утверждение доказано: AC = BD

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите несколько карандашей и положите их на стол. Карандаш — это вектор: заточенный конец — «стрелка». Положите два карандаша одной длины параллельно, остриём в одну сторону — это равные векторы, хотя лежат в разных местах. Разверните один — векторы стали противоположно направленными и уже не равны. Поставьте один наискосок — они не коллинеарны.

Вопросы для проверки понимания: 1) Чем вектор AB отличается от вектора BA? 2) Могут ли быть равными векторы, лежащие на разных прямых? 3) Две стрелки одной длины лежат на одной прямой — обязательно ли они равны?

На что обратить внимание. Ребёнок должен называть оба условия равенства — направление и длину — и следить за порядком букв в обозначении вектора.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 84	926, 927, 932, 933, 934
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 85	928, 929, 930, 935, 936, 937, 938, 939, 940
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 86	931