Начертите векторы AB, CD и EF так, чтобы они были коллинеарны и |AB| = 1 см, |CD| = 2,5 см, |EF| = 4,5 см.
Решение
Проведите прямую \(p\) и параллельную ей прямую \(q\) (или пользуйтесь одной прямой — коллинеарные векторы могут лежать и на ней).
На прямой \(p\) отложите отрезок \(AB = 1\) см и поставьте стрелку у точки \(B\).
На прямой \(q\) отложите \(CD = 2{,}5\) см, стрелку — у \(D\).
Ещё на одной прямой, параллельной \(p\), или на самой \(p\) отложите \(EF = 4{,}5\) см, стрелку — у \(F\).
Все три вектора лежат на параллельных прямых (или на одной прямой), значит, коллинеарны. Направления можно выбрать любые — коллинеарность от них не зависит.
Ответ
Три вектора длиной 1 см, 2,5 см и 4,5 см на параллельных прямых
Почему так
Ненулевые векторы коллинеарны, если лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
Начертите векторы AB, CD и EF так, чтобы AB и EF были коллинеарны, AB и CD — не коллинеарны, |AB| = 3 см, |CD| = 1,5 см, |EF| = 1 см.
Решение
Проведите прямую \(p\) и отложите на ней \(AB = 3\) см, стрелку поставьте у \(B\).
Проведите прямую \(q \parallel p\) и отложите на ней \(EF = 1\) см — вектор \(\overrightarrow{EF}\) коллинеарен \(\overrightarrow{AB}\).
Проведите прямую \(r\), пересекающую \(p\) (например, перпендикулярную ей), и отложите на ней \(CD = 1{,}5\) см. Прямые \(r\) и \(p\) не параллельны, поэтому \(\overrightarrow{CD}\) и \(\overrightarrow{AB}\) не коллинеарны.
Заметим, что тогда и \(\overrightarrow{CD}\) с \(\overrightarrow{EF}\) не коллинеарны.
Ответ
AB и EF на параллельных прямых, CD — на пересекающей их прямой
Почему так
Векторы на пересекающихся прямых не коллинеарны, на параллельных — коллинеарны.
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).