Упражнение 935 к § 85

Каждая сторона задаёт два вектора: \(\overrightarrow{MN}\) и \(\overrightarrow{NM}\) и т. д. Векторы коллинеарны, если лежат на одной прямой или на параллельных прямых. В параллелограмме \(MN \parallel QP\) и \(NP \parallel MQ\).

1. Векторы на прямых \(MN\) и \(QP\): \(\overrightarrow{MN}\), \(\overrightarrow{NM}\), \(\overrightarrow{PQ}\), \(\overrightarrow{QP}\) — любые два из них коллинеарны. Обходя параллелограмм, видим, что \(\overrightarrow{MN}\) и \(\overrightarrow{QP}\) направлены одинаково.

Сонаправленные: \(\overrightarrow{MN} \uparrow\uparrow \overrightarrow{QP}\), \(\overrightarrow{NM} \uparrow\uparrow \overrightarrow{PQ}\).

Противоположно направленные: \(\overrightarrow{MN} \uparrow\downarrow \overrightarrow{NM}\), \(\overrightarrow{MN} \uparrow\downarrow \overrightarrow{PQ}\), \(\overrightarrow{NM} \uparrow\downarrow \overrightarrow{QP}\), \(\overrightarrow{PQ} \uparrow\downarrow \overrightarrow{QP}\).

2. Векторы на прямых \(NP\) и \(MQ\): \(\overrightarrow{NP}\), \(\overrightarrow{PN}\), \(\overrightarrow{MQ}\), \(\overrightarrow{QM}\).

Сонаправленные: \(\overrightarrow{NP} \uparrow\uparrow \overrightarrow{MQ}\), \(\overrightarrow{PN} \uparrow\uparrow \overrightarrow{QM}\).

Противоположно направленные: \(\overrightarrow{NP} \uparrow\downarrow \overrightarrow{PN}\), \(\overrightarrow{NP} \uparrow\downarrow \overrightarrow{QM}\), \(\overrightarrow{PN} \uparrow\downarrow \overrightarrow{MQ}\), \(\overrightarrow{MQ} \uparrow\downarrow \overrightarrow{QM}\).

Параллельны только основания \(AD\) и \(BC\); боковые стороны \(AB\) и \(CD\) не параллельны.

1. Векторы на основаниях: \(\overrightarrow{AD}\), \(\overrightarrow{DA}\), \(\overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{CB}\). Точки \(B\) и \(C\) идут в том же порядке, что \(A\) и \(D\), поэтому \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{BC}\) направлены одинаково.

Сонаправленные: \(\overrightarrow{AD} \uparrow\uparrow \overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{DA} \uparrow\uparrow \overrightarrow{CB}\).

Противоположно направленные: \(\overrightarrow{AD} \uparrow\downarrow \overrightarrow{DA}\), \(\overrightarrow{AD} \uparrow\downarrow \overrightarrow{CB}\), \(\overrightarrow{DA} \uparrow\downarrow \overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{BC} \uparrow\downarrow \overrightarrow{CB}\).

2. Векторы на одной боковой стороне коллинеарны (лежат на одной прямой) и противоположно направлены: \(\overrightarrow{AB} \uparrow\downarrow \overrightarrow{BA}\), \(\overrightarrow{CD} \uparrow\downarrow \overrightarrow{DC}\).

Стороны треугольника попарно пересекаются, параллельных среди них нет. Поэтому коллинеарны только векторы, лежащие на одной стороне: \(\overrightarrow{FG}\) и \(\overrightarrow{GF}\), \(\overrightarrow{GH}\) и \(\overrightarrow{HG}\), \(\overrightarrow{FH}\) и \(\overrightarrow{HF}\).

В каждой паре векторы противоположно направлены; сонаправленных пар нет.