Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Равны ли векторы AB и DC? Ответ обоснуйте.
Решение
\(AB \parallel DC\) и \(AB = DC\) (противоположные стороны параллелограмма). Векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{DC}\) направлены одинаково (от стороны \(AD\) к стороне \(BC\)). Они сонаправлены и имеют равные длины, значит, равны.
Ответ
Да
Почему так
Векторы противоположных сторон параллелограмма, направленные в одну сторону, равны.
Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Равны ли векторы BC и DA? Ответ обоснуйте.
Решение
\(BC \parallel AD\) и \(BC = AD\), но \(\overrightarrow{BC}\) идёт от \(B\) к \(C\), а \(\overrightarrow{DA}\) — от \(D\) к \(A\), то есть в противоположную сторону: \(\overrightarrow{BC} \uparrow\downarrow \overrightarrow{DA}\). Векторы не сонаправлены, поэтому не равны.
Ответ
Нет
Почему так
Длины равны, но векторы противоположно направлены.
Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Равны ли векторы AO и OC? Ответ обоснуйте.
Решение
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам: \(AO = OC\). Векторы \(\overrightarrow{AO}\) и \(\overrightarrow{OC}\) лежат на одной прямой \(AC\) и направлены от \(A\) к \(C\), то есть сонаправлены. Значит, они равны.
Ответ
Да
Почему так
O — середина AC, поэтому векторы AO и OC сонаправлены и равны по длине.
Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Равны ли векторы AC и BD? Ответ обоснуйте.
Решение
Диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\), то есть лежат на пересекающихся прямых. Значит, векторы \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BD}\) не коллинеарны и тем более не сонаправлены — они не равны.
Ответ
Нет
Почему так
Векторы на пересекающихся прямых не коллинеарны, а равные векторы коллинеарны.
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).