Задача 1
Докажите, что если векторы AB и CD равны, то середины отрезков AD и BC совпадают. Докажите обратное — если середины отрезков AD и BC совпадают, то AB = CD.
Решение
Дано: \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\). Доказать: середины \(AD\) и \(BC\) совпадают; и обратно.
Прямое утверждение. 1) Пусть точка \(C\) не лежит на прямой \(AB\). Равные векторы коллинеарны, поэтому \(CD \parallel AB\), и \(CD = AB\). Векторы сонаправлены, значит, \(B\) и \(D\) лежат по одну сторону от прямой \(AC\), и \(AB\), \(CD\) — противоположные стороны четырёхугольника \(ABDC\). Две противоположные стороны параллельны и равны — \(ABDC\) параллелограмм. Его диагонали \(AD\) и \(BC\) точкой пересечения делятся пополам, то есть их середины совпадают.
- Пусть все четыре точки лежат на одной прямой. Введём на ней ось с координатами \(a\), \(b\), \(c\), \(d\). Равенство векторов на оси означает \(b - a = d - c\), то есть \(a + d = b + c\). Середина \(AD\) имеет координату \(\dfrac{a + d}{2}\), середина \(BC\) — \(\dfrac{b + c}{2}\); они равны.
Обратное утверждение. Пусть \(O\) — общая середина \(AD\) и \(BC\).
-
Если \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) не на одной прямой, то в четырёхугольнике \(ABDC\) диагонали \(AD\) и \(BC\) точкой пересечения делятся пополам, значит, \(ABDC\) — параллелограмм. Тогда \(AB \parallel CD\), \(AB = CD\), а векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\) направлены одинаково (это противоположные стороны, \(B\) и \(D\) по одну сторону от \(AC\)). Следовательно, \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\).
-
Если точки на одной прямой, то из \(\dfrac{a + d}{2} = \dfrac{b + c}{2}\) получаем \(b - a = d - c\), а это и есть \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\).
Ответ
При равных векторах AB и CD четырёхугольник ABDC — параллелограмм, а у него диагонали делятся точкой пересечения пополам; и наоборот.
Подробнее — в теме «Понятие вектора. Равенство векторов».