Задача 1
Условие (кратко)
Докажите, что для любых двух неколлинеарных векторов x и y справедливо неравенство |x + y| < |x| + |y|.
Решение
Дано: \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) не коллинеарны. Доказать: \(|\vec{x} + \vec{y}| < |\vec{x}| + |\vec{y}|\).
- От точки \(A\) отложим \(\overrightarrow{AB} = \vec{x}\), от точки \(B\) — \(\overrightarrow{BC} = \vec{y}\). По правилу треугольника \(\vec{x} + \vec{y} = \overrightarrow{AC}\).
- Векторы не коллинеарны, поэтому точки \(A\), \(B\), \(C\) не лежат на одной прямой (иначе \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\) лежали бы на одной прямой) — получился треугольник \(ABC\).
- По неравенству треугольника \(AC < AB + BC\), то есть \(|\vec{x} + \vec{y}| < |\vec{x}| + |\vec{y}|\).
Ответ
Утверждение доказано — это неравенство треугольника для треугольника ABC
Почему так
Длина суммы неколлинеарных векторов — сторона треугольника, а она меньше суммы двух других сторон.
Подробнее — в теме «Сложение векторов».