Задача 1
Условие (кратко)
Докажите, что для произвольных точек A, B, C, D верно AB + BC + CD + DA = 0.
Решение
Дано: \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) — произвольные точки. Доказать: \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \vec{0}\).
По правилу треугольника \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\), затем \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AA} = \vec{0}\). Это правило многоугольника: конец последнего вектора совпал с началом первого, и сумма нулевая. Рассуждение верно и при совпадении некоторых точек.
Ответ
Сумма равна вектору AA, то есть нулевому вектору
Почему так
Замкнутая цепочка векторов по правилу многоугольника даёт нулевой вектор.
Подробнее — в теме «Сложение векторов».