Задача 1
Условие (кратко)
X, Y, Z — произвольные точки. Докажите, что векторы p = XY + ZX + YZ, q = (XY − XZ) + YZ и r = (ZY − XY) − ZX нулевые.
Решение
Дано: \(X\), \(Y\), \(Z\) — произвольные точки. Доказать: \(\vec{p} = \vec{q} = \vec{r} = \vec{0}\).
- \(\vec{p} = \overrightarrow{XY} + \overrightarrow{YZ} + \overrightarrow{ZX}\) (переставили слагаемые) \(= \overrightarrow{XX} = \vec{0}\) по правилу многоугольника.
- \(\overrightarrow{XY} - \overrightarrow{XZ} = \overrightarrow{ZY}\) (векторы с общим началом \(X\)), поэтому \(\vec{q} = \overrightarrow{ZY} + \overrightarrow{YZ} = \overrightarrow{ZZ} = \vec{0}\).
- \(\overrightarrow{ZY} - \overrightarrow{XY} = \overrightarrow{ZY} + \overrightarrow{YX} = \overrightarrow{ZX}\), поэтому \(\vec{r} = \overrightarrow{ZX} - \overrightarrow{ZX} = \vec{0}\).
Ответ
Все три вектора нулевые — каждый сводится к вектору с совпадающими началом и концом
Почему так
Разности заменяются суммами с противоположными векторами, и цепочки замыкаются.
Подробнее — в теме «Вычитание векторов».