Какой вектор противоположен вектору \overrightarrowAB?

Любой вектор, перпендикулярный AB

Какие равенства верны для любых векторов?

Разность a − b равна a + (−b)

Разность a − a равна нулевому вектору

Длина |a − b| не больше |a| + |b|

Разность a − b равна b − a

Вычитание векторов — 9 класс, геометрия: объяснение, примеры, задачи

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Сложение векторов

Коротко о главном

Разность $\vec{a} - \vec{b}$ — это вектор, который в сумме с $\vec{b}$ даёт $\vec{a}$ . Если отложить оба вектора от одной точки, разность идёт из конца вычитаемого в конец уменьшаемого.

\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA}, \qquad \vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})

Подробное объяснение

С числами всё привычно: $$7 - 3$$ — это число, которое вместе с 3 даёт 7. С векторами так же. Разность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ — такой вектор, сумма которого с $\vec{b}$ равна $\vec{a}$ . Обозначение — $\vec{a} - \vec{b}$ .

Как построить разность

Отметьте любую точку $$O$$ и отложите от неё $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$ и $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$ . По правилу треугольника $\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{OA}$ , то есть $\vec{b} + \overrightarrow{BA} = \vec{a}$ . Значит, $\overrightarrow{BA} = \vec{a} - \vec{b}$ .

Запомнить легко: разность идёт из конца вычитаемого в конец уменьшаемого. Полезная формула для любых точек $$O$$ , $$A$$ , $$B$$ :

\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA}.

Слева от точки O отложены векторы a = OA и b = OB, разность a − b — вектор BA. Справа в параллелограмме ABCD на векторах a = AB и b = AD диагональ AC равна a + b, диагональ DB равна a − b. — Разность a − b идёт из конца вычитаемого b в конец уменьшаемого a.

В параллелограмме $$ABCD$$ , построенном на векторах $\vec{a} = \overrightarrow{AB}$ и $\vec{b} = \overrightarrow{AD}$ , обе диагонали «работают»: $\overrightarrow{AC} = \vec{a} + \vec{b}$ , а $\overrightarrow{DB} = \vec{a} - \vec{b}$ .

Противоположный вектор

Вектор называют противоположным вектору $\vec{a}$ , если у него та же длина, а направление противоположное. Обозначение — $-\vec{a}$ . Например, для $\overrightarrow{AB}$ противоположный — $\overrightarrow{BA}$ . Нулевому вектору противоположен он сам. Сумма вектора и противоположного ему — нулевой вектор: $\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$ , ведь $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AA}$ .

Теорема о разности

Для любых векторов $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$ .

Почему так: по определению $(\vec{a} - \vec{b}) + \vec{b} = \vec{a}$ . Прибавим к обеим частям $-\vec{b}$ . Слева $\vec{b} + (-\vec{b}) = \vec{0}$ , остаётся $\vec{a} - \vec{b}$ , справа — $\vec{a} + (-\vec{b})$ .

Отсюда второй способ построения: от точки $$O$$ отложите $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$ , от точки $$A$$ — вектор $-\vec{b}$ , и по правилу треугольника получите разность.

Главная польза теоремы — любое вычитание можно заменить сложением: $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ . После этого работают все правила сложения: треугольника, параллелограмма, многоугольника.

Длина разности

Длина разности, как и длина суммы, — это длина отрезка, а не разность длин. Из треугольника $$OAB$$ получается $|\vec{a} - \vec{b}| \le |\vec{a}| + |\vec{b}|$ . Равенство бывает, когда векторы противоположно направлены (или один из них нулевой).

Как решать задачи

Векторы выходят из одной точки — сразу пишите разность: из конца вычитаемого в конец уменьшаемого.
Иначе замените «минус вектор» на «плюс противоположный»: $-\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{BC}$ .
Расставьте слагаемые цепочкой и сверните правилом многоугольника.
Чтобы выразить вектор через данные $\vec{a}$ и $\vec{b}$ , пройдите к нему «по сторонам» фигуры, складывая и вычитая известные векторы.
Длину находите как длину отрезка — теоремой Пифагора или свойствами фигур.

Разобранные примеры

База

Упростить выражение с разностью

Условие

Упростите выражение $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC}$ .

Решение

Векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ выходят из точки $$A$$ , поэтому $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}$ . Далее $\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CC} = \vec{0}$ .

Ответ: Нулевой вектор

Средний

Выразить векторы через стороны параллелограмма

Условие

ABCD — параллелограмм, $\vec{a} = \overrightarrow{AB}$ , $\vec{b} = \overrightarrow{BC}$ . Выразите через $\vec{a}$ и $\vec{b}$ векторы $\overrightarrow{AC}$ , $\overrightarrow{BD}$ и $\overrightarrow{DA}$ .

Решение

По правилу треугольника $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \vec{a} + \vec{b}$ .

$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}$ . Вектор $\overrightarrow{CD}$ противоположен $\overrightarrow{AB}$ (стороны параллелограмма равны и параллельны, а направления противоположны), $\overrightarrow{CD} = -\vec{a}$ . Значит, $\overrightarrow{BD} = \vec{b} - \vec{a}$ .

$\overrightarrow{DA}$ противоположен $\overrightarrow{BC}$ , поэтому $\overrightarrow{DA} = -\vec{b}$ .

Ответ: AC = a + b, BD = b − a, DA = −b

Сложный

Сумма и разность в ромбе

Условие

ABCD — ромб со стороной 6 и углом $A = 60^\circ$ . Найдите $|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}|$ и $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}|$ .

Решение

$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DB}$ . Треугольник $$ABD$$ равнобедренный с углом $60^\circ$ при вершине, значит, равносторонний, $$DB = 6$$ .

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$ . Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам: $$BO = 3$$ , $AO = \sqrt{6^2 - 3^2} = 3\sqrt{3}$ , $AC = 6\sqrt{3}$ .

Ответ: 6 и 6√3

Типичные ошибки

Пишут OA − OB = AB

Почему неверно

Проверим сложением: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{OB}$ не равно $\overrightarrow{OA}$ . А вот $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{OA}$ — верно.

Как правильно

Разность направлена к уменьшаемому: $\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA}$ . Сомневаетесь — прибавьте ответ к вычитаемому, должно получиться уменьшаемое.

Считают, что |a − b| = |a| − |b|

Почему неверно

Длина разности — длина третьей стороны треугольника. У перпендикулярных векторов длиной 3 и 4 разность имеет длину 5, а не 1.

Как правильно

Постройте разность и найдите длину отрезка. Простое вычитание длин верно только для сонаправленных векторов.

Минус перед вектором «теряют»: AB − BC = AC

Почему неверно

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ — это сумма. Разность $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB}$ , и цепочки здесь нет.

Как правильно

Сначала замените $-\overrightarrow{BC}$ на $\overrightarrow{CB}$ , и только потом ищите цепочку «конец — начало».

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Упростите выражение $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$ .

Подсказка

Оба вектора выходят из одной точки. Разность идёт из конца вычитаемого в конец уменьшаемого.

Решение

Векторы отложены от точки $$A$$ . По правилу вычитания $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}$ . Проверка сложением, $\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB}$ .

Ответ

Вектор CB

База Задача 2

Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены, $|\vec{a}| = 7$ , $|\vec{b}| = 3$ . Найдите $|\vec{a} - \vec{b}|$ .

Подсказка

Замените вычитание сложением с противоположным вектором.

Решение

$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$ . Вектор $-\vec{b}$ сонаправлен с $\vec{a}$ , поэтому длины складываются, $|\vec{a} - \vec{b}| = 7 + 3 = 10$ .

Ответ

10

Средний Задача 3

ABCD — квадрат со стороной 5. Найдите $|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}|$ .

Подсказка

Векторы выходят из одной точки A — разность соединяет их концы.

Решение

$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DB}$ — диагональ квадрата, $DB = \sqrt{5^2 + 5^2} = 5\sqrt{2}$ .

Ответ

5√2 ≈ 7,07

Средний Задача 4

ABCD — параллелограмм, $\vec{a} = \overrightarrow{AB}$ , $\vec{b} = \overrightarrow{AD}$ . Выразите через $\vec{a}$ и $\vec{b}$ векторы $\overrightarrow{BD}$ и $\overrightarrow{CA}$ .

Подсказка

BD — разность векторов, выходящих из A. CA противоположен диагонали AC.

Решение

$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ . $\overrightarrow{AC} = \vec{a} + \vec{b}$ по правилу параллелограмма, поэтому $\overrightarrow{CA} = -\vec{a} - \vec{b}$ .

Ответ

BD = b − a, CA = −a − b

Сложный Задача 5

В прямоугольнике ABCD стороны AB = 12, BC = 5. Найдите $|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB}|$ .

Подсказка

Вычесть вектор — значит прибавить противоположный.

Решение

$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ . Диагональ $AC = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13$ .

Ответ

13

Сложный Задача 6

Докажите, что для любых точек A, B, C, D верно $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{CD}$ .

Подсказка

Каждую разность замените суммой с противоположным вектором.

Решение

$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AC}$ . Обе части равны $\overrightarrow{AC}$ .

Ответ

Обе части равны вектору AC

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Положите две ручки с общим началом — это векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ . Спросите: «Какую стрелку надо добавить к $\vec{b}$ , чтобы попасть в конец $\vec{a}$ ?» Это стрелка от конца $\vec{b}$ к концу $\vec{a}$ — и есть разность. Затем переверните ручку $\vec{b}$ — получится противоположный вектор $-\vec{b}$ .

Вопросы для проверки понимания: 1) Чему равно $\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}$ ? 2) Чем векторы $\vec{a} - \vec{b}$ и $\vec{b} - \vec{a}$ отличаются? 3) Какая диагональ параллелограмма $$ABCD$$ равна $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}$ ?

На что обратить внимание. Главное — направление разности: к уменьшаемому. Хорошая привычка — проверять ответ сложением.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 90	944, 945, 946, 950, 951, 952, 953, 954, 955, 956, 957, 958, 959, 960, 961