Задача 1
Условие (кратко)
M и N — середины сторон AB и AC треугольника ABC. Выразите векторы BM, NC, MN, BN через a = AM и b = AN.
Решение
- \(M\) — середина \(AB\), поэтому \(\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{AM} = \vec{a}\) (равная длина, одно направление) и \(\overrightarrow{BM} = -\vec{a}\).
- \(N\) — середина \(AC\), поэтому \(\overrightarrow{NC} = \overrightarrow{AN} = \vec{b}\).
- \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AM} = \vec{b} - \vec{a}\) (векторы с общим началом \(A\)).
- \(\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MN} = -\vec{a} + (\vec{b} - \vec{a}) = (\vec{b} - \vec{a}) - \vec{a}\).
Ответ
BM = −a, NC = b, MN = b − a, BN = (b − a) − a
Почему так
Половинки стороны — равные векторы, а остальные векторы получаются правилом треугольника и вычитанием.
Подробнее — в теме «Вычитание векторов».