Задача 1
Условие (кратко)
Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Выразите через a = AB и b = AD векторы DC + CB, BO + OC, BO − OC, BA − DA.
Решение
- \(\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \vec{a} - \vec{b}\).
- \(\overrightarrow{BO} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = \vec{b}\).
- Диагонали делятся точкой \(O\) пополам, поэтому \(\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{AO}\). Тогда \(\overrightarrow{BO} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{BO} - \overrightarrow{AO} = \overrightarrow{BO} + \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{BA} = -\vec{a}\).
- \(\overrightarrow{BA} - \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BD} = \vec{b} - \vec{a}\).
Ответ
DC + CB = a − b, BO + OC = b, BO − OC = −a, BA − DA = −a + b
Почему так
Векторы сворачиваются по правилу треугольника, а разность с общим началом A даёт вторую диагональ.
Подробнее — в теме «Вычитание векторов».