Задача 1
Условие (кратко)
Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что XA + XC = XB + XD, где X — произвольная точка плоскости.
Решение
Дано: \(ABCD\) — параллелограмм, \(X\) — любая точка. Доказать: \(\overrightarrow{XA} + \overrightarrow{XC} = \overrightarrow{XB} + \overrightarrow{XD}\).
- Перенесём слагаемые: равенство равносильно \(\overrightarrow{XA} - \overrightarrow{XB} = \overrightarrow{XD} - \overrightarrow{XC}\) (прибавили к обеим частям \(-\overrightarrow{XB}\) и \(-\overrightarrow{XC}\)).
- Векторы с общим началом \(X\): \(\overrightarrow{XA} - \overrightarrow{XB} = \overrightarrow{BA}\) и \(\overrightarrow{XD} - \overrightarrow{XC} = \overrightarrow{CD}\).
- В параллелограмме \(\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}\): отрезки \(BA\) и \(CD\) равны, параллельны и направлены одинаково. Значит, равенство верно.
Ответ
Равенство доказано — оно сводится к BA = CD
Почему так
Разности векторов с общим началом X дают стороны BA и CD, а они в параллелограмме равны как векторы.
Подробнее — в теме «Вычитание векторов».