Задача 1
Условие (кратко)
Докажите, что для любых векторов x и y верно |x − y| ≤ |x| + |y|. В каком случае |x − y| = |x| + |y|?
Решение
Дано: \(\vec{x}\), \(\vec{y}\) — любые векторы. Доказать: \(|\vec{x} - \vec{y}| \le |\vec{x}| + |\vec{y}|\).
- Отложим от точки \(O\) векторы \(\overrightarrow{OA} = \vec{x}\) и \(\overrightarrow{OB} = \vec{y}\). Тогда \(\vec{x} - \vec{y} = \overrightarrow{BA}\).
- Для любых трёх точек \(AB \le OA + OB\): если \(O\), \(A\), \(B\) не на одной прямой, это неравенство треугольника (причём строгое); если на одной прямой — проверяется по расположению точек.
- Значит, \(|\vec{x} - \vec{y}| \le |\vec{x}| + |\vec{y}|\).
Равенство \(AB = OA + OB\) бывает, только когда точка \(O\) лежит на отрезке \(AB\), то есть \(\overrightarrow{OA}\) и \(\overrightarrow{OB}\) противоположно направлены, или когда \(O\) совпадает с \(A\) или \(B\) (один из векторов нулевой).
Ответ
Неравенство доказано; равенство — если x ↑↓ y или хотя бы один из векторов нулевой
Почему так
Разность векторов с общим началом — третья сторона треугольника, она не длиннее суммы двух других.
Подробнее — в теме «Вычитание векторов».