Начертите неколлинеарные векторы x и y и постройте вектор x + 2y; затем то же для двух коллинеарных ненулевых векторов x и y.
Решение
Постройте вектор \(2\vec{y}\): сонаправлен с \(\vec{y}\), вдвое длиннее.
По правилу треугольника: от конца вектора \(\vec{x}\) отложите вектор, равный \(2\vec{y}\). Вектор из начала \(\vec{x}\) в конец \(2\vec{y}\) и есть \(\vec{x} + 2\vec{y}\).
Для коллинеарных \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) все векторы лежат на одной прямой (или параллельных прямых): результат тоже коллинеарен \(\vec{x}\). Если, например, \(\vec{y} \uparrow\uparrow \vec{x}\), длина суммы равна \(|\vec{x}| + 2|\vec{y}|\); если векторы противоположно направлены — \(\bigl||\vec{x}| - 2|\vec{y}|\bigr|\).
Ответ
Вектор x + 2y — по правилу треугольника из x и 2y; при коллинеарных x и y он им коллинеарен
Почему так
Сначала умножаем вектор на число, затем складываем по правилу треугольника.
Для неколлинеарных, а затем для коллинеарных ненулевых векторов x и y постройте вектор ½y + x.
Решение
Постройте \(\dfrac{1}{2}\vec{y}\) — сонаправлен с \(\vec{y}\), вдвое короче.
От конца \(\dfrac{1}{2}\vec{y}\) отложите вектор, равный \(\vec{x}\); вектор из начала \(\dfrac{1}{2}\vec{y}\) в конец \(\vec{x}\) — искомый. Порядок слагаемых не важен: \(\dfrac{1}{2}\vec{y} + \vec{x} = \vec{x} + \dfrac{1}{2}\vec{y}\).
Для коллинеарных \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) сумма лежит на той же прямой, её длина равна сумме длин \(|\vec{x}|\) и \(\dfrac{1}{2}|\vec{y}|\) при сонаправленных векторах и модулю их разности при противоположно направленных.
Ответ
Вектор ½y + x — сумма вектора ½y и вектора x по правилу треугольника
Почему так
Половина вектора сонаправлена с ним и вдвое короче, дальше — обычное сложение.
Для неколлинеарных, а затем для коллинеарных ненулевых векторов x и y постройте вектор 3x + ½y.
Решение
Постройте \(3\vec{x}\) (сонаправлен с \(\vec{x}\), в 3 раза длиннее) и \(\dfrac{1}{2}\vec{y}\) (сонаправлен с \(\vec{y}\), вдвое короче).
От конца \(3\vec{x}\) отложите вектор, равный \(\dfrac{1}{2}\vec{y}\). Вектор из начала \(3\vec{x}\) в конец \(\dfrac{1}{2}\vec{y}\) — это \(3\vec{x} + \dfrac{1}{2}\vec{y}\).
Для коллинеарных векторов результат лежит на той же прямой: длина \(3|\vec{x}| + \dfrac{1}{2}|\vec{y}|\) при сонаправленных и \(\bigl|3|\vec{x}| - \dfrac{1}{2}|\vec{y}|\bigr|\) при противоположно направленных.
Ответ
Вектор 3x + ½y — сумма векторов 3x и ½y по правилу треугольника
Почему так
Каждое слагаемое строим по определению произведения вектора на число, затем складываем.
Для неколлинеарных, а затем для коллинеарных ненулевых векторов x и y постройте вектор 1½x − 3y.
Решение
Постройте \(1\dfrac{1}{2}\vec{x}\) — сонаправлен с \(\vec{x}\), длина в полтора раза больше.
Вычитание заменим сложением с противоположным вектором: \(1\dfrac{1}{2}\vec{x} - 3\vec{y} = 1\dfrac{1}{2}\vec{x} + (-3\vec{y})\). Вектор \(-3\vec{y}\) направлен противоположно \(\vec{y}\) и в 3 раза длиннее.
От конца \(1\dfrac{1}{2}\vec{x}\) отложите вектор, равный \(-3\vec{y}\), и соедините начало первого с концом второго.
Для коллинеарных векторов результат лежит на той же прямой; например, при \(\vec{x} \uparrow\uparrow \vec{y}\) его длина равна \(\bigl|1{,}5|\vec{x}| - 3|\vec{y}|\bigr|\).
Ответ
Вектор 1½x − 3y = 1½x + (−3y), построен по правилу треугольника
Почему так
Разность векторов — это сумма уменьшаемого и вектора, противоположного вычитаемому.
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).