Задача 1
Начертите неколлинеарные векторы p и q с разными началами и постройте векторы m = 2p − ½q, n = p + 3q, l = −2p − ½q, s = ⅔q − p.
Решение
Каждый вектор строим как сумму двух слагаемых по правилу треугольника, предварительно умножив \(\vec{p}\) и \(\vec{q}\) на числа (знак «минус» — противоположное направление).
-
\(\vec{m} = 2\vec{p} + \left(-\dfrac{1}{2}\vec{q}\right)\): к \(2\vec{p}\) (сонаправлен с \(\vec{p}\), вдвое длиннее) приставляем вектор, противоположный \(\vec{q}\) и вдвое короче его.
-
\(\vec{n} = \vec{p} + 3\vec{q}\): к \(\vec{p}\) приставляем вектор, сонаправленный с \(\vec{q}\) и в 3 раза длиннее.
-
\(\vec{l} = -2\vec{p} + \left(-\dfrac{1}{2}\vec{q}\right)\): оба слагаемых противоположны исходным векторам. Заметим, что \(\vec{l}\) и \(\vec{m}\) отличаются только знаком при \(\vec{p}\).
-
\(\vec{s} = \dfrac{2}{3}\vec{q} + (-\vec{p})\): к вектору, сонаправленному с \(\vec{q}\) длиной \(\dfrac{2}{3}|\vec{q}|\), приставляем вектор \(-\vec{p}\).
Удобно откладывать все четыре вектора от одной точки.
Ответ
Каждое слагаемое — произведение вектора на число, сумма — по правилу треугольника.
Подробнее — в теме «Умножение вектора на число».