Задача 1
Условие (кратко)
Дан вектор p = 3a, a ≠ 0. Как направлен каждый из векторов a, −a, ½a, −2a, 6a по отношению к p? Выразите их длины через |p|.
Решение
Дано
- \(\vec{p} = 3\vec{a}\)
- \(\vec{a} \ne \vec{0}\)
Найти
- направления векторов \(\vec{a}\)
- \(-\vec{a}\)
- \(\dfrac{1}{2}\vec{a}\)
- \(-2\vec{a}\)
- \(6\vec{a}\) относительно \(\vec{p}\) и их длины
Так как \(3 > 0\), вектор \(\vec{p}\) сонаправлен с \(\vec{a}\) и \(|\vec{p}| = 3|\vec{a}|\), то есть \(|\vec{a}| = \dfrac{1}{3}|\vec{p}|\).
Вектор \(k\vec{a}\) при \(k > 0\) сонаправлен с \(\vec{a}\), а значит, и с \(\vec{p}\); при \(k < 0\) — направлен противоположно. Длина \(|k\vec{a}| = |k| \cdot \dfrac{1}{3}|\vec{p}|\):
- \(\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{p}\), \(|\vec{a}| = \dfrac{1}{3}|\vec{p}|\);
- \(-\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{p}\), \(|-\vec{a}| = \dfrac{1}{3}|\vec{p}|\);
- \(\dfrac{1}{2}\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{p}\), длина \(\dfrac{1}{6}|\vec{p}|\);
- \(-2\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{p}\), длина \(\dfrac{2}{3}|\vec{p}|\);
- \(6\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{p}\), длина \(2|\vec{p}|\).
Ответ
a, ½a, 6a сонаправлены с p; −a, −2a противоположны p. Длины ⅓|p|, ⅓|p|, ⅙|p|, ⅔|p|, 2|p|
Почему так
Знак множителя задаёт направление, а модуль множителя — во сколько раз меняется длина.
Подробнее — в теме «Умножение вектора на число».