Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 91

Упражнение 968 к § 91

§ 91. Произведение вектора на число · тема: Умножение вектора на число

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите, что для любого вектора a справедливо равенство 1 · a = a.

Решение

Дано: произвольный вектор $\vec{a}$ . Доказать: $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$ .

Если $\vec{a} = \vec{0}$ , то $1 \cdot \vec{0} = \vec{0}$ — произведение нулевого вектора на любое число есть нулевой вектор.
Если $\vec{a} \ne \vec{0}$ , то по определению вектор $1 \cdot \vec{a}$ имеет длину $|1| \cdot |\vec{a}| = |\vec{a}|$ и, так как $$1 > 0$$ , сонаправлен с $\vec{a}$ .

Сонаправленные векторы равной длины равны, поэтому $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$ .

Ответ

Утверждение доказано: 1 · a = a

Почему так

Вектор 1·a имеет ту же длину и то же направление, что a, значит, равен ему.

Подробнее — в теме «Умножение вектора на число».

Задача 2

Условие (кратко)

Докажите, что для любого вектора a справедливо равенство (−1) · a = −a.

Решение

Дано: произвольный вектор $\vec{a}$ . Доказать: $(-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a}$ .

Если $\vec{a} = \vec{0}$ , то обе части — нулевой вектор (нулевой вектор противоположен сам себе).
Если $\vec{a} \ne \vec{0}$ , то вектор $(-1) \cdot \vec{a}$ имеет длину $|-1| \cdot |\vec{a}| = |\vec{a}|$ и, так как $$-1 < 0$$ , направлен противоположно $\vec{a}$ .

Вектор $-\vec{a}$ по определению тоже имеет длину $|\vec{a}|$ и противоположен $\vec{a}$ . Векторы одинаковой длины и одинакового направления равны: $(-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a}$ .

Ответ

Утверждение доказано: (−1) · a = −a

Почему так

Умножение на −1 сохраняет длину и меняет направление на противоположное — это и есть противоположный вектор.

Подробнее — в теме «Умножение вектора на число».

Задача 1

Задача 2

Похожие задачи для тренировки