Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 91

Упражнение 969 к § 91

§ 91. Произведение вектора на число · тема: Умножение вектора на число

Задача 1

Условие (кратко)

Пусть x = m + n, y = m − n. Выразите через m и n вектор 2x − 2y.

Решение

Дано

$\vec{x} = \vec{m} + \vec{n}$
$\vec{y} = \vec{m} - \vec{n}$

Найти

$2\vec{x} - 2\vec{y}$ через $\vec{m}$ и $\vec{n}$

Подставим и раскроем скобки по распределительным законам:

$2\vec{x} - 2\vec{y} = 2\vec{m} + 2\vec{n} - 2\vec{m} + 2\vec{n} = 4\vec{n}$ .

Ответ

2x − 2y = 4n

Почему так

С векторными выражениями работают по тем же правилам, что с числовыми — раскрывают скобки и приводят подобные.

Подробнее — в теме «Умножение вектора на число».

Задача 2

Условие (кратко)

Пусть x = m + n, y = m − n. Выразите через m и n вектор 2x + ½y.

Решение

Дано

$\vec{x} = \vec{m} + \vec{n}$
$\vec{y} = \vec{m} - \vec{n}$

Найти

$2\vec{x} + \dfrac{1}{2}\vec{y}$ через $\vec{m}$ и $\vec{n}$

$2\vec{x} + \dfrac{1}{2}\vec{y} = 2\vec{m} + 2\vec{n} + \dfrac{1}{2}\vec{m} - \dfrac{1}{2}\vec{n} = \dfrac{5}{2}\vec{m} + \dfrac{3}{2}\vec{n}$ .

Ответ

2x + ½y = (5/2)m + (3/2)n

Почему так

Раскрываем скобки и складываем коэффициенты при одинаковых векторах.

Подробнее — в теме «Умножение вектора на число».

Задача 3

Условие (кратко)

Пусть x = m + n, y = m − n. Выразите через m и n вектор −x − ⅓y.

Решение

Дано

$\vec{x} = \vec{m} + \vec{n}$
$\vec{y} = \vec{m} - \vec{n}$

Найти

$-\vec{x} - \dfrac{1}{3}\vec{y}$ через $\vec{m}$ и $\vec{n}$

$-\vec{x} - \dfrac{1}{3}\vec{y} = -\vec{m} - \vec{n} - \dfrac{1}{3}\vec{m} + \dfrac{1}{3}\vec{n} = -\dfrac{4}{3}\vec{m} - \dfrac{2}{3}\vec{n}$ .

Коэффициент при $\vec{n}$ : $-1 + \dfrac{1}{3} = -\dfrac{2}{3}$ . В ответах учебника указано $-\dfrac{3}{2}\vec{n}$ — это опечатка.

Ответ

−x − ⅓y = −(4/3)m − (2/3)n

Почему так

Минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых, затем приводим подобные.

Подробнее — в теме «Умножение вектора на число».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Похожие задачи для тренировки