Задача 1
В параллелограмме ABCD точка E — середина AD, G — середина BC. Выразите векторы EC и AG через векторы a = DC и b = BC.
Решение
- \(ABCD\) — параллелограмм
- \(E\) — середина \(AD\)
- \(G\) — середина \(BC\)
- \(\overrightarrow{DC} = \vec{a}\)
- \(\overrightarrow{BC} = \vec{b}\)
- \(\overrightarrow{EC}\)
- \(\overrightarrow{AG}\)
-
В параллелограмме \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} = \vec{b}\) и \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} = \vec{a}\).
-
\(E\) — середина \(AD\), поэтому \(\overrightarrow{ED} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD} = \dfrac{1}{2}\vec{b}\). По правилу треугольника \(\overrightarrow{EC} = \overrightarrow{ED} + \overrightarrow{DC} = \vec{a} + \dfrac{1}{2}\vec{b}\).
-
\(\overrightarrow{BG} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC} = \dfrac{1}{2}\vec{b}\), поэтому \(\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BG} = \vec{a} + \dfrac{1}{2}\vec{b}\).
Векторы получились равными — и правда, \(AGCE\) — параллелограмм. В ответах учебника указано \(\vec{a} - \dfrac{1}{2}\vec{b}\); при \(\vec{b} = \overrightarrow{BC}\) это неверно (так было бы при \(\vec{b} = \overrightarrow{CB}\)).
Ответ
Половина стороны параллелограмма как вектор равна половине равного ей вектора противоположной стороны.
Подробнее — в теме «Умножение вектора на число».