Задача 1
Условие (кратко)
Точка M лежит на стороне BC параллелограмма ABCD, BM : MC = 3 : 1. Выразите векторы AM и MD через a = AD и b = AB.
Решение
Дано
- \(ABCD\) — параллелограмм
- \(M \in BC\)
- \(BM : MC = 3 : 1\)
- \(\overrightarrow{AD} = \vec{a}\)
- \(\overrightarrow{AB} = \vec{b}\)
Найти
- \(\overrightarrow{AM}\)
- \(\overrightarrow{MD}\)
-
\(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = \vec{a}\). Отрезок \(BC\) разделён на \(3 + 1 = 4\) части, поэтому \(\overrightarrow{BM} = \dfrac{3}{4}\vec{a}\), \(\overrightarrow{MC} = \dfrac{1}{4}\vec{a}\).
-
\(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = \vec{b} + \dfrac{3}{4}\vec{a}\).
-
\(\overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{AB} = -\vec{b}\), поэтому \(\overrightarrow{MD} = \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{CD} = \dfrac{1}{4}\vec{a} - \vec{b}\).
Ответ
AM = ¾a + b, MD = ¼a − b
Почему так
Часть стороны выражаем через вектор стороны с коэффициентом, равным её доле, затем применяем правило треугольника.
Подробнее — в теме «Умножение вектора на число».