Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 91

Упражнение 972 к § 91

Задача 1

Условие (кратко)

В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O. Выразите через x = AD и y = AB векторы AC, AO, CO, DO, AD + BC, AD + CO, CO + OA.

Решение

Дано

Найти

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \vec{x} + \vec{y}$ (правило параллелограмма).
$\overrightarrow{AO} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2}(\vec{x} + \vec{y})$ , $\overrightarrow{CO} = -\overrightarrow{AO} = -\dfrac{1}{2}(\vec{x} + \vec{y})$ .
$\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \vec{y} - \vec{x}$ , $\overrightarrow{DO} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{DB} = \dfrac{1}{2}(\vec{y} - \vec{x})$ .
$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$ , поэтому $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} = 2\vec{x}$ .
$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CO} = \vec{x} - \dfrac{1}{2}\vec{x} - \dfrac{1}{2}\vec{y} = \dfrac{1}{2}(\vec{x} - \vec{y})$ .
$\overrightarrow{CO} + \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{CA} = -\vec{x} - \vec{y}$ .

Ответ

AC = x + y, AO = ½(x + y), CO = −½(x + y), DO = ½(y − x), AD + BC = 2x, AD + CO = ½(x − y), CO + OA = −x − y

Почему так

Используем правило параллелограмма и то, что диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Условие (кратко)

В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O, точка M на стороне AD, AM = ½MD. Выразите через x = AD и y = AB векторы AM, MC, BM, OM.

Решение

Дано

Найти

$$AM : MD = 1 : 2$$ , значит, $AM = \dfrac{1}{3}AD$ и $\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{3}\vec{x}$ , $\overrightarrow{MD} = \dfrac{2}{3}\vec{x}$ .
$\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{DC} = \dfrac{2}{3}\vec{x} + \vec{y}$ (так как $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$ ).
$\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AM} = -\vec{y} + \dfrac{1}{3}\vec{x}$ .
$\overrightarrow{OA} = -\dfrac{1}{2}(\vec{x} + \vec{y})$ , поэтому $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AM} = -\dfrac{1}{2}\vec{x} - \dfrac{1}{2}\vec{y} + \dfrac{1}{3}\vec{x} = -\dfrac{1}{6}\vec{x} - \dfrac{1}{2}\vec{y}$ .

Ответ

AM = ⅓x, MC = ⅔x + y, BM = ⅓x − y, OM = −⅙x − ½y

Почему так

Точка M делит AD в отношении 1 : 2, поэтому AM составляет треть вектора AD.