Задача 1
Точки M и N — середины диагоналей AC и BD четырёхугольника ABCD. Докажите, что MN = ½(AD + CB) (векторы).
Решение
Дано: \(ABCD\) — четырёхугольник, \(M\) — середина \(AC\), \(N\) — середина \(BD\). Доказать: \(\overrightarrow{MN} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB})\).
- По правилу многоугольника запишем \(\overrightarrow{MN}\) двумя путями:
\(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN}\), \(\quad \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BN}\).
-
Сложим равенства: \(2\overrightarrow{MN} = (\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC}) + (\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB}) + (\overrightarrow{DN} + \overrightarrow{BN})\).
-
\(M\) — середина \(AC\), поэтому \(\overrightarrow{MA}\) и \(\overrightarrow{MC}\) противоположны: \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = \vec{0}\). Так же \(\overrightarrow{DN} + \overrightarrow{BN} = \vec{0}\).
-
Значит, \(2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB}\), откуда \(\overrightarrow{MN} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB})\).
Ответ
Вектор записывают двумя путями через вершины и складывают; векторы от середины к концам отрезка взаимно уничтожаются.
Подробнее — в теме «Умножение вектора на число».