Задача 1
Отрезки AA₁, BB₁, CC₁ — медианы треугольника ABC. Выразите векторы AA₁, BB₁, CC₁ через a = AC и b = AB.
Решение
- \(\triangle ABC\)
- \(AA_1\)
- \(BB_1\)
- \(CC_1\) — медианы
- \(\overrightarrow{AC} = \vec{a}\)
- \(\overrightarrow{AB} = \vec{b}\)
- \(\overrightarrow{AA_1}\)
- \(\overrightarrow{BB_1}\)
- \(\overrightarrow{CC_1}\)
-
\(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \vec{a} - \vec{b}\). \(A_1\) — середина \(BC\): \(\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC} = \vec{b} + \dfrac{1}{2}\vec{a} - \dfrac{1}{2}\vec{b} = \dfrac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})\).
-
\(B_1\) — середина \(AC\): \(\overrightarrow{BB_1} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AB_1} = -\vec{b} + \dfrac{1}{2}\vec{a}\).
-
\(C_1\) — середина \(AB\): \(\overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AC_1} = -\vec{a} + \dfrac{1}{2}\vec{b}\).
Ответ
Вектор медианы выражаем по правилу треугольника через сторону и половину противоположной стороны.
Подробнее — в теме «Умножение вектора на число».